2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学设计(教案)

课堂导学

三点剖析

一、两个平面位置关系的定义

【例1】

如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（

）

A.平行

B.相交

C.平行或相交

D.垂直相交

解析：如图中的甲、乙分别为两个平面平行、相交的情形.

甲

乙

答案：C 温馨提示

考查两平面的位置关系.由于本节教材只给出两个平面位置关系的基本概念，在判断的过程中更多的是借助于图形来说明两平面的位置关系，所以要注意培养空间图形的画法. 各个击破

类题演练1

平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？说明道理. 解：不正确.

如图，设α∩β=l，则在α内与l平行的直线可以有无数条a1,a2,…，an,…，它们是一组平行线，这时a1,a2,…,an,…与平面β都平行，但此时αβ,α∩β=l.

变式提升1

如图，围成长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面，两两之间的位置关系有几种？

解：位置关系有两种：平行和相交.其中平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面AA1D1D∥平面

BB1C1C，平面AA1B1B∥平面DD1C1C，平面ABCD与面ADD1A1、面ABB1A1、面BB1C1C都相交等. 二、两个平面位置关系定义的应用

【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为B1C1，A1D1的中点，求证：平面ABB1A1与平面CDFE相交. 思路分析：要证两个平面相交，只要证明这两个平面有公共点即可.

证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为B1C1中点，所以EC与B1B不平行，则延长CE与BB1必相交于一点H，

∴H∈EC,H∈B1B. 又知B1B平面ABB1A1，

CB1平面CDFE, ∴H∈平面ABB1A1，H∈平面CDFE. 故平面ABB1A1与平面CDFE相交. 温馨提示

(1)两个平面位置关系的定义是证明或判断两平面平行或相交的重要方法之一，因此必须要熟练掌握和灵活应用. (2)要证“面面平行”必须突出定义中“没有公共点”，这与“线面平行”的定义证明是一致的. （3）要证“两面相交”，只要证两面有一个公共点，要与平面基本性质中的公理3相结合. 类题演练2

已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BB1的中点，画出平面AEC1与平面ABCD的交线.

解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BB1中点，

∴延长C1E与CB必相交，设交点为F，则F为平面AEC1与平面ABCD的一个公共点，又知点A也是平面AEC1与平面ABCD的一个公共点，

故两面交线为AF. 温馨提示

若求两平面的交线，只要找出两面的两个公共点后，连结即可，而两面的交点往往通过两面中线的交点来完成. 变式提升2

已知:平面α∥平面β，直线aα，

求证：a∥β.

思路分析：要证线与平面平行，只要证明直线与平面没有公共点. 证明：∵平面α∥平面β,

∴α与β没有公共点，

又∵aα,

∴a与β没有公共点，故a∥β.

三、两平面平行的论证及其定义的应用

【例3】

已知:平面α∥平面β，平面α∩平面γ=直线a，平面β∩平面γ=直线b，

求证：a∥b. 思路分析：若证a∥b,只要证a与b在同一平面内且没有公共点即可.

证明：如题图：

∵α∥β,∴α与β没有公共点. 又∵aα,bβ,

∴a与b没有公共点. 又知，aγ,

bγ,故a∥b. 温馨提示

(1)应用两面平行的定义解决问题时，一定要叙述“没有公共点”这关键语句，切不可遗漏; （2）要注意“线线平行”“线面平行”“面面平行”定义的区别和联系: 线面平行直线与平面没有公共点; 面面平行两平面没有公共点; 线线平行两直线在同一平面内，且没有公共点. 类题演练3

已知:如图，平面α∥平面β,点A，B∈α,点C，D∈β且AD∥BC, 求证：AD=BC.

证明：∵AD∥BC, ∴AD与BC确定一个平面ABCD，且平面ABCD∩α=AB,平面ABCD∩平面β=CD,又知α∥β,

∴α与β没有公共点，又ABα,CDβ,

∴AB与CD没有公共点. 又知，AB平面ABCD，CD平面ABCD，

∴AB∥CD.又∵AD∥BC, ∴四边形ABCD为平行四边形，故AD=BC.

变式提升3

已知如图，平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB∩CD=S,AS=8,BS=9,CD=34.

求SC的长.

解：∵AB∩CD=S,

∴AB与CD可确定一个平面，（同上题的证明过程）则AC∥BD, ∴△ASC∽△BSD. ∴ASSC8SC,∴,解得SC=16.

SBSD934SC