3.3.4 两条平行直线间的距离教学设计及说课稿

3.3.3 点到直线的距离& 3.3.4两条平行线间的距离

一、课本知识梳理

1．点到直线的距离

|Ax0＋By0＋C|点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．

A2＋B22．两条平行线间的距离

(1)求两条平行线间的距离时，可转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

|C1－C2|(2)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离公式d＝2

A＋B2

二、典型问题与方法

1．求点到直线的距离

例1

求点P0(－1，2)到直线l：3x＝2的距离．(链接教材P107例5) |3×（－1）－2|5[解析]

d＝＝. 332＋02【方法小结】应用点到直线的距离公式应注意的问题：

(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应化为一般式．

(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．

(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．

【变式训练】

1．求下列点到直线的距离：

(1)A(－2，3)，l：3x＋4y＋3＝0；(2)B(1，0)，l：3x＋y－3＝0. |3×（－2）＋4×3＋3|9|3×1＋0－3|解：(1)d＝＝.

(2)d＝＝0. 2532＋42（3）＋1

2．点到直线的距离的应用

例2

已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，求三角形ABC的面积．(链接教材P107例6) 1[解析]

如图，设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h. 2|AB|＝（3－1）2＋（1－3）2＝22，AB边上的高h就是点C到AB的距离．

y－3x－1AB边所在直线的方程为＝，即x＋y－4＝0. 1－33－1

|－1＋0－4|5点C(－1，0)到x＋y－4＝0的距离h＝＝

. 212＋1215因此，S△ABC＝×22×＝5. 22【方法小结】解此类问题首先要分析题目中的已知条件，确定合理的解题方法，例如此题中的解法是利用两点间距离求得|AB|，再用两点式求AB所在直线方程，用点到直线距离求出点C到AB的距离，最后求得三角形面积．

【变式训练】

2．已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，求a的值．

|－3a－4＋1||6a＋3＋1|解：由已知得，＝，∴|3a＋3|＝|6a＋4|，

a2＋12a2＋123a＋3＝6a＋4或3a＋3＝－6a－4. 17∴a＝－或a＝－. 39

3．两平行直线间的距离

例3 已知直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离．

(链接教材P108例7) 262[解析]

l1的斜率k1＝，

l2的斜率k2＝＝. 7217因为k1＝k2，所以l1∥l2. 先求l1与x轴的交点A的坐标，容易知道A的坐标为(4，0)．

|6×4－21×0－1|2323点A到直线l2的距离d＝＝＝53. 35315962＋21223所以l1与l2间的距离为53. 159【方法小结】(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以应用公式．

|C2－C1|(2)应用两平行线间的距离公式d＝2时，两直线方程必须是一般形式，而且x，y的系数对应相等．

A＋B2

【变式训练】

3．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，则l的方程为________．

解析：设所求的直线方程为2x－y＋c＝0，分别在l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0上取点A(0，3)|－3＋c||1＋c|和B(0，－1)，则此两点到2x－y＋c＝0距离相等，即2＝，

2＋（－1）222＋（－1）2解得c＝1，故直线l的方程为2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0

4．直线系方程的应用

例4

已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点．

(1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．

[解析]

(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0. |10＋5λ－5|∵点A(5，0)到l的距离为3，∴＝3，

（2＋λ）2＋（1－2λ）21即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝，∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. 22x＋y－5＝0，(2)由解得交点P(2，1)，

x－2y＝0，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等成立)．

号∴dmax＝|PA|＝（5－2）2＋（0－1）2＝10. 【方法小结】与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.

5．化归与转化思想在求最值中的应用

例5

已知△ABC的顶点坐标为A(1，1)，B(m，m)，C(4，2)，1

y－1x－1[解析]

|AC|＝（4－1）2＋（2－1）2＝10，直线AC的方程为＝，即x－3y＋2＝0. 2－14－1∵点B(m，m)到直线AC的距离d＝131＝|(m－)2－|. 2243111∵1

24【方法小结】

(1)此题要求△ABC面积的最大值，可转化成点B到AC的距离的最大值．

(2)在解题过程中将所得到的式子进行转化，利用函数的思想把问题转化成二次函数求得最值.

6．平行与距离的综合应用

例6

直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．

①[解析](1)若直线l1，l2的斜率存在，设直线的斜率为k，由点斜式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，

由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0. |－1－5k|因为直线l1过点A(0，1)，则点A到直线l2的距离d＝2＝5 k＋（－1）212所以25k2＋10k＋1＝25k2＋25，所以k＝，

5所以l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0 (2)若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件. 综上所述，满足条件的直线方程有两组

l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；或l1：x＝0，l2：x＝5. 【方法小结】在解答与直线的斜率有关的问题时，要充分考虑斜率是否存在，若不能事先确定，一定要分类讨论．

【课后作业】

1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是(

) A．32

B．2

C．3

232D．

2|m－3m＋2|11，∴△ABC的面积S＝|AC|·d＝|m－3m＋2| 2212＋（－3）2|1＋1＋1|3解析：选D．由点到直线的距离公式得：d＝＝2. 222．到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程为(

) A．3x－4y－11＝0

B．3x－4y＋9＝0 C．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0

D．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝0 |－1－m|解析：选C．设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，由已知得2＝2，

3＋（－4）2

解得：m＝9或m＝－11，故两直线方程为

3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0.

3．已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为(

) A．1

B．－1

C．2

解析：选D．由点到直线的距离公式得D．±2 |a－1＋1|＝1，解得a＝±2. 12＋（－1）24．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是(

) A．10

B．22

C．6

D．2 |－4|解析：选B．|OP|的最小值即O到直线x＋y－4＝0的距离，d＝＝22. 25．两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是(

) A．(0，＋∞)

B．[0，5]

C．(0，5]

D．[0，17] 解析：选C．设直线l1，l2之间的距离d，当两直线重合时，距离最小d＝0，但两直线平行，故d>0. 当l1和l2与PQ垂直时，两直线距离d最大，d＝|PQ|＝（－1－2）2＋（3＋1）2＝5，

所以0

) A．[－11，－1]

B．[－11，0] C．[－11，－6)∪(－6，－1]

D．[－1，＋∞)

|k＋2＋4|解析：选C.将y＝－2x－k－2化为2x＋y＋k＋2＝0，由题意有0<22≤5，∴0<|k＋6|≤5. 2＋1∴－11≤k≤－1且k≠－6.故选C. 7．已知x＋y－3＝0，则（x－2）2＋（y＋1）2的最小值为________．

解析：设P(x，y)，A(2，－1)，

则点P在直线x＋y－3＝0上，

且（x－2）2＋（y＋1）2＝|PA|. |2＋（－1）－3||PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝2. 12＋12答案：2 8．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________．

解析：∵|OP|2＝x2＋y2，∴当|OP|最小时，x2＋y2的值最小，因此所求的最小值就是原点到直线x＋y|－4|－4＝0的距离的平方，即(22)2＝8. 1＋1答案：8 9．两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________．

36解析：因为两直线平行，所以＝，所以a＝8，

4a6x＋8y＋30＝0，即3x＋4y＋15＝0，则d＝|5－15|32＋42＝10＝2，所以a＋d＝8＋2＝10. 5答案：10 10．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．

解析：直线6x＋8y＋6＝0可变形为3x＋4y＋3＝0，则|PQ|的最小值即两平行线3x＋4y－12＝0与3x|－12－3|＋4y＋3＝0间的距离d．又d＝22＝3，所以|PQ|的最小值为3. 3＋4答案：3 11．已知点A(a，6)到直线3x－4y＝2的距离d为下列各值，求a的值或取值范围：

(1)d＝3；(2)d>4.

解：(1)由点到直线3x－4y＝2的距离公式得，|3a－24－2|＝3，

32＋（－4）24111即

|3a－26|＝15，∴3a－26＝±15，∴a＝或. 33|3a－26|46(2)∵d>4，∴>4，即|3a－26|>20，∴3a－26>20或3a－26<－20，∴a>或a<2，

5346即a的取值范围是(－∞，2)∪(，＋∞)．

3312．已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－. 4(1)求直线l的方程；

(2)若直线m与l平行，且直线m与直线l的距离为3，求直线m的方程．

3解：(1)由点斜式得直线l的方程为y－5＝－(x＋2)，即

3x＋4y－14＝0. 4(2)设直线m的方程为3x＋4y＋n＝0. |n＋14|由两平行直线的距离为3得，22＝3，即|n＋14|＝15，∴n＋14＝15或n＋14＝－15，

3＋4∴n＝1或n＝－29，故直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.