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圆锥曲线与方程（选修2-1第二章）

1、求轨迹方程的方法

（1）五步法：①建系，②设点；③列式；④化简；⑤检验（讨论x，y的范围）。

（2）定义法—用于与圆锥曲线的焦点和准线有关问题。

（3）待定系数法—用于特殊曲线方程。（如直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线）

（4）代入法—用于多动点，其中一个或几个动点在某曲线上。

（5）参数法—用于两曲线相交或动弦的中点等问题。

（6）点差法—用于动弦的中点轨迹方程。（弦的中点、斜率有关）

注意：求出了轨迹方程后还应该考察一下曲线上的每一个点是否都符合题意，要把不符合题意的点除去! 2、圆锥曲线定义

椭圆

双曲线

抛物线

|MF1|+|MF2|=2a

||MF1|-|MF2||=2a

到一定点和到一定直线的距离相等

定义

(2a>|F1F2|)

(2a<|F1F2|)

x轴焦点在x轴焦点在y轴焦点在y分类

焦点在x轴

焦点在y轴

焦点在x轴

焦点在y轴

焦点在正半轴

负半轴

正半轴

轴负半轴

标准

方程

x2y21

a2b2(ab0)x2y21

b2a2(ab0)x2y21

a2b2(a0,b0)y2x21

a2b2(a0,b0)y22px

(p0)y22px

(p0)x22py

(p0)x22py

(p0)图形

对称轴

x轴、y轴

长轴长2a

短轴长2b

x轴、y轴

长轴长2a

短轴长2b

x轴、y轴

实轴长2a

虚轴长2b

x轴、y轴

实轴长2a

虚轴长2b

x轴

x轴

y轴

y轴

轴长

顶点

坐标

焦点

坐标

离心率

无

(0,0) p(,0)

2e1

(±a,0) (0,±a) (0,±b) (±b,0) (±c,0) (0,±c) ca2b2

ca2b2

0ec

c10e1

aa(±a,0) (±c,0) ca2b2

ec

1a(0,±a) (0,±c) ca2b2

ec

1a(0,0) (p,0)

2(0,0) (0,p

)2(0,0) (0,p

)2e1

e1

e1

准线

方程

渐近线方程

无

无

无

无

yb

xa无

ya

xbxp

2xp

2yp

2yp

2无

3、直线与二次曲线的位置关系问题

判断直线ykxm与二次曲线位置关系，将直线方程和二次曲线方程联立消去y(或x)得一个关于变量x（或y）的一元二次方程ax2bxc0，利用判别式可确定位置关系。

设直线与二次曲线的两个交点A（x1,y1）B(x2,y2),AB的中点P(x0,y0) 中点弦问题（利用中点坐标公式和根与系数关系）x0x1x2b,y0kx0m

22a弦长问题（利用两点间距离公式和韦达定理）

bcx1x2,x1x2,y1kx1m,y2kx2m,AB(x1x2)2(y1y2)2(x1x2)2[k(x1x2)]2

aa(1k2)(x1x2)2(1k2)[(x1x2)24x1x2]2注意：（1）用判别式前一定要分析二次项系数为零的情况。（2）要先保证判别式b4ac0才有两根x1和x2存在。

（3）方程ykxm只适合斜率存在的直线,对斜率不存在的情况要另外讨论。

1

经典例题：

一、直线与圆：

1.

由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(

) A．1

B．2 2

C.7

D．3 2．若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为(

) A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0 C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0

3.（2011年江门高二调研考试）圆x2y22x4y40截直线3x4yC0，所得的弦长为25，则常数C=（

）

A．-1

B．21

C．1或21

D．-1或-21

4.

4．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线yx1对称的圆的标准方程是

二．圆锥曲线的定义：

x2y21的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A,B两点，若|F2A||F2B|12，则5.

已知F1,F2为椭圆259|AB|

y21上的一点，F1,F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|:|PF2|3:2，则PF1F2的6．设P为双曲线x122面积为

x2y21，给出下面四个命题正确的是： 7.（2012年江门高二调研考）对于曲线C：4kk1①

曲线C不可能表示椭圆；②14；

④

若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1

28.已知平面内一点M到两定点之间的距离之和是常数2a，则点M的轨迹为： 三、轨迹方程、离心率及中点弦问题：

（1）中点弦：

x2y21弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ；

9. ①如果椭圆369x2y2②已知直线y=－x+1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0ab上，则此椭圆的离心率为_______；

x2y2③试确定m的取值范围，使得椭圆1上有不同的两点关于直线y4xm对称。

43（2）求轨迹方程：

10.①如已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4，求P的轨迹方程．

②如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）(m0)，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为

③点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x50的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ ④如动点P是抛物线y2x1上任一点，定点为A(0,1),点M分PA所成的比为2，则M的轨迹方程为__________ ⑤过抛物线x4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是_____ （3）圆锥曲线的离心率

11.在ABC中，ABBC,cosB

227，若以A,B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= 182

x2y212.

F1,F2分别是双曲线221（a0,b0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的ab圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB时等边三角形，则双曲线的离心率为：

x2y213.已知双曲线221（a0,b0）的两个焦点F1,F2，若P为其上一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲ab线离心率的取值范围是：（

）

A．（1，3）

B．（1，4]

C．(3,)

D．[3,)

四、圆锥曲线中的最值问题：

14.已知P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线距离之和的最小值917

B．3

C．5

D．

22x2y21内的两个定点，点M是椭圆上的动点，则|MA||MB|的最小15.已知点A(4,0),B(2,2)是椭圆259为(

)

A．值为：

。

x2y21的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，

16.已知F是双曲线412则|PF||PA|的最小值为

五、圆锥曲线中的综合问题：

x2y2317.

（2011年江门高二调研考）已知椭圆221（ab0）的离心率为，直线l：yx2与以ab3椭圆中心为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆相切。

（1）求该椭圆的方程；

（2）设垂直于l的直线与椭圆交于P,Q两点，若OPQ是直角三角形（其中O是坐标原点），求直线PQ的方程。

3

18.（2012年江门高二调研考）已知圆C的方程为：x2y24，过点M（2,4）作圆C的两条切线，切点分x2y2别为A,B，直线AB恰好经过椭圆T: 221（a0,b0）的右顶点和上顶点。

ab（1）

求椭圆T的方程

（2）

记过点M的两条切线中经过第二象限的为l，P是椭圆T上任意一点，P到直线l的距离为d,求d的取值范围。

219.（2013年江门高二调研考）在平面内，抛物线C:y8x的焦点为F，椭圆T的中心在坐标原点，离心率e1，并以F为一个焦点。

2（1）

求椭圆T的标准方程

（2）

设A1A2是椭圆T的长轴（A，P是抛物线C在第一象限的一点，过P作抛物线C的切1在A2的左侧）线，若切线经过点A1，求证：tanA1PA22

4

参考答案: 1、C

2、D

3、D

4、(x1)2(y1)25

5、8

6、12

7、③④

8、椭圆或线段或轨迹不存在

9、①y12132132x4；②；③

m213132210、①y212x480(x3)，y24x0(x3)；

②y22x；③y216x；④y6x⑤x22y2

11、1

33

12、31

13、A

14、A

15、10210

16、9 817、

⑴以椭圆C的中心为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆为x2y2b2，由直线yx2与此圆相切得|002|23cb，b2，由e3aa2b2，解得a3，所以，椭圆C的方程为ax2y21

32⑵若O非直角顶点，不妨设OPPQ，因为lPQ，所以OP//l，从而直线OP的方程为yx，解x2y2303023030301PQ得或，直线的方程为P(

, )xy0

P(

, )2355555yxx2y21若OPOQ，因为lPQ，所以设PQ：yxm，由3得

2yxm5x26mx3m260，由一元二次方程求根公式得(6m)245(3m26)0且

6m3m26xPxQ，xPxQ，由OPOQ得OPOQ0，即

55xPxQyPyQxPxQ(xPm)(xQm)m2122150，解得m，

55符合(6m)245(3m26)0，所以直线PQ的方程为xy2150

518、⑴观察知，x2是圆C的一条切线，切点为A(2

, 0)，根据圆的切线性质，MCAB，1kMC11，所以直线AB的方程为y0(x2)。直线AB与y轴相交于(0

, 1)，22所以kABx2y21

依题意a2，b1，所求椭圆T的方程为4⑵设

l：y4k(x2)，即kxy42k0，解d|k0042k|k212，得k3，

l

4在椭圆T外，若P到直线

l

的距离取最大（小）值，则经过P且与

l

平行的直线PQ与椭圆T相

5

x2y21313切，设PQ：yxb，由4得13x224bx16(b21)0，由0解得b，423yxb4所以

l：3x4y100，PQ：3x4y2130，

l与PQ之间的距离d0|10213|3242102131021310213d

, ，所求的取值范围为．

555x2y219、⑴依题意，设椭圆的标准方程为221（ab0），

abp2p8，所以p4，2，F(2

, 0)，c2，

2ec1，所以a4，b2a2c212，

a2x2y21

所以椭圆的标准方程为1612y⑵抛物线C在第一象限的部分可看作函数y8x22x的图象，依题意，不妨设P(0

, y0)8412/（y00），因为y/22，所以切线PA的斜率，PAky|PA1xx011：yx2x02y4yy0(x0)，由⑴得A1(4

, 0)，代入解得y042，则P(4

, 42)，A2(4

, 0)，y08PA2A1A2，在RtPA1A2中，A1A28，PA242，PA2A1是直角，所以AAtanA1PA2122．

PA22

6