3.1.3 空间向量的数量积运算课堂实录【2】

3.2.3

直线与平面的夹角教学设计

[学习目标] 1．了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成角的概念．

2．了解三个角θ，θ1，θ2的意义，会利用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求平面的斜线与平面内的直线的夹角．

[知识回顾] 怎样求两条异面直线所成的角？

(1)_______________________________________________________；

(2)________________________________________________________. [预习导引] 1．线线角、线面角的关系式

【设计意图】重点强调斜线的射影是过垂足和斜足的直线．教师可在此处多设计几个图形，让学生练习辨别垂线，斜线及其射影．

[典型例题] 知识点一

用定义求线面角

例1

在正四面体ABCD中，E为棱AD中点，连CE，求CE和平面BCD所成角的正弦值．

如图所示，已知OA是平面α的斜线段，O是斜足，线段AB垂直于α，B为垂足，则直线OB是斜线OA在平面α内的正射影．设OM是α内通过点O的任一条直线，OA与OB所成的角为θ1，OB与OM所成的角为θ2，OA与OM所成的角为θ，则θ，θ1，θ2之间的关系为____________________ 在上述公式中，因为______________________,又因为θ1和θ都是锐角，所以θ1≤θ. 2．最小角定理

_____和它在平面内的_____所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成角中_____．

3．直线与平面的夹角

(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为_____．

(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为_____．

(3)斜线和它在平面内的__________叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).

变式1如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD. PD＝DC，E是PC的中点．求EB与平面ABCD夹角的余弦值．

方法小结：_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________. 【设计意图】教师用问题引导学生一步步分析如何作出斜线与平面所成的角，培养学生思维的条理性．

1

知识点二

由公式cosθ＝cosθ1·cosθ2求线面角

例2

已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为a的菱形，O为菱形ABCD3的中心，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，AA1＝2a，求证：A1O⊥平面ABCD.

变式2如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，则PA与平面PBC所成角的余弦值为______ 方法小结：_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________. 【设计意图】让学生真正理解最小角定理的含义及如何解题应用。

知识点三

向量法求线面角

例3

如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值．

[课堂达标] 1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝1－2，则l与α所成的角为(

) 2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为(

) 2263A.4

B.3

C.3

D.2

3．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与C1B所成角的大小为(

) A．60°

B．90°

C．105°

D．75°

4.如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A、B、Vπ分别在x、y、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当θ＝3时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．

变式3

如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值．

【设计意图】学习新知后紧跟练习，有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于教师了解学生对本节课的掌握情况．

[课堂小结] 1．_____________________________________________________________

方法小结：_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________. 【设计意图】向量法是解决立体几何问题的重要途径之一，设置向量法为后续的二面角做好铺垫。

_______________________________________________________________________. 2．直线与平面所成角的求法

_____________________________________________________________ ______________________________________________________________________

2