习题3.2教案2

“利用空间向量解决空间角的问题”教学设计

学科

授课时间

授课题目

教

材

分

析

数学

年级

高二

授课地点

授课教师

闫焕民

高二1班

2017年11月

利用空间向量解决空间角的问题

按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题。尤其是向量用坐标表示后，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算，有助于学生克服空间想象力的障碍而顺利解题。

学

情

分

析

教

学

目

标

学生在此之前已基本熟悉了：平面向量的数量积公式、夹角公式，异面直线夹角范围，线面角的范围，空间向量的坐标表示，以及利用这些知识来处理空间中的两种特殊位置关系：平行与垂直的相关理论与实践基础。

知识与技能：

(1) 把握向量方法解决立体几何相关问题的一般步骤（“三步曲”）。

(2) 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量处理方法在研究几何问题中的作用。

过程与方法：

(1) 在解题过程中，让学生领悟类比思想和转化思想在解题中的应用。

(2) 在解题中融入数学建模思想，增强学生数学应用意识，提高学生的抽象概括能力。

情感、态度、价值观：

以例题讲练为学习载体，培养学生数形结合思想和方法的应用，促使学生形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辩证唯物主义观点，培养学生勇于探索的精神和创新意识。

教

学

重

难

点

教学方法

重点：把握向量方法解决立体几何相关问题的一般步骤。（“三步曲”）

难点：(1) 建立空间图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题。

(2) 两条异面直线的夹角、线面所成角与两个空间向量的夹角之间的区别；恰当的构建空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标。

讲评、探究式

教学过程设计：

一、知识回顾

1、若a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3)，则数量积：ab = 夹角公式：cosa,b = 2、若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB= ；AB 3、异面直线所成角的范围是： ；向量所成角的范围 ；

直线与平面所成角的范围： 。

二、题型讲解

题型一、线线角

C D

A 

B 

思考：CD,AB与的关系；DC,AB与的关系

结论：异面直线所成的角coscosCD,AB

注意：求异面直线AB与CD所成的角，可先转化为向量AB与CD的夹角，即计算cosAB,CDABCDABCD（0，]，若两向量夹角为钝角,，而异面直线所成角的范围为2转化到异面直线夹角时为. BCA90，例1、在RtABC中，现将ABC沿着平面ABC的法向量的方向平移到A1B1C1位置，已知BCCACC1,取A1B1、AC11的中点D1与AF1、F1,求BD1所成角的余弦值。

提问：怎么建立空间坐标系

答：(1)利用现有三条两两垂直的直线；(2)注意已有的正、直条件；(3)相关几何知识的综合运用。

C1

B1

F1

D1

A1

C

B

A

练习1、在长方体ABCDA1BC11D1中，AB5,AD8,AA1=4，M为B1C1上的一点，且B1M2,点A在线段A1D上，A1DAN. (1)求异面直线A1D与AM所成的角；(2)求AD与平面ANM所成的角。

题型二、线面角

A1

B1

M N C1

D1

A B AD C On

B思考：n,BA与的关系？

结论：直线与平面所成的角

sincosn,AB

例2、练习1的第2小问

练习2、正方体ABCDA1BC11D1的棱长为1，求B1所成的角

1C1与面ABC

B B1

A1

D1

C1

A D C

三、小结归纳

1.知识小节：向量方法解决立体几何相关问题的一般步骤（“三步曲”）。

2.数学思想方法小结：数形结合的思想、类比与转化思想。

四、课后作业

1、如左图，在棱长为1的正方体ABCDA1BC11D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，求：直线AM与CN所成角的余弦值。

D1

C1

M A1

B1

N

C D

A B

2．(2009北京) 如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上。

（Ⅰ）求证：平面AEC平面PDB；

w.w.w.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）当PD2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小。

3．如图正方体ABCDA、AB、BC的中点．

1BC11D1中，E、F、G分别是B1B

（1）证明：D1FEG；

（2）证明：D1F⊥平面AEG；

（3）求异面直线AE与D1B的夹角。

D A A1 D1

B1

E C G F C1