一、圆锥曲线的光学性质及其应用优质课教学设计

圆锥曲线的光学性质及其应用

高级中学

王明群

一、教学内容分析

本节课内容是高中数学人教A版选修2-1中《圆锥曲线与方程》章后的一段阅读与思考材料,重点介绍了椭圆、双曲线、抛物线的光学性质以及它们在生活生产中的广泛应用. 它是圆锥曲线知识的进一步拓展，是数学知识与物理知识的综合，也是数学知识在实际生活中的应用的典型案例.

二、学情分析

学生已经学完圆锥曲线相关知识，对用解析法解决解析几何问题的基本思想、方法已基本掌握，另外，学生已学习过导数知识，因此能用导数工具求解切线斜率，同时也具备物理学中关于光的传播方面的相关知识，这是本节课的理论基础。

三、学习目标

(1)

知识与技能：了解三种圆锥曲线的光学性质，了解它在生产、生活中的应用，培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。

(2)

过程与方法：能通过对一些生活现象的观察提出数学问题，再用数学的方法加以论证，激发学生学习数学的兴趣。

(3)

情感、态度、价值观：通过对圆锥曲线光学性质的大量应用，感受数学与生活之间的密切联系，体会数学的抽象性及其广泛的应用性，培养学生应用数学知识的意识及勇于探索的精神。

四、教学重、难点

重点：圆锥曲线的光学性质及应用。

难点：圆锥曲线光学性质的原理。

五、教学过程

提到光学性质，学生们马上想到物理学中的光线反射、折射等，但这和数学有什么联系呢？

１．创设情境：

每个人都见过或用过手电筒，但手电筒的反射镜是什么形状？为什么要这样设计？原理是什么？你思考过吗？经过适当调节，手电筒会发出一束很强的平行光线，为什么会发出平行光线，为什么不是发散的呢？怎样调节才能做到这一点？

2.探究新知：

（1）椭圆的光学性质：

从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；

(见图1.1) 椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．

（2）双曲线的光学性质

：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．

双曲线这种性质，在天文望远镜的设计等方面，有重大的贡献

（3）抛物线的光学性质

：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）

抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．

B D

A F

2

O F1







图1.1

图1.2 图1.3 下面以椭圆为例证明（，分别为直线L与PF1

，PF2所成的角，P(x0,y0)，如图3所示。）

1

可得：tan

btancy20

不难得到，从而反射光线必经过右焦点F2。

bcy204.课堂练习：

2C:yx，一光线从点A(5，2)射出，平行C

的对称轴，射在C

上的P点，（1）设抛物线3.应用举例：

（1）在数学中的应用

经过反射后，又射到C上的Q点，则P点的坐标为____，Q点的坐标为______。

5．课时小结

（1）知识方面：圆锥曲线的光学性质，从焦点发出的光反射后的情形各不相同，既互相区别又互相联系。

（2）能力方面：圆锥曲线的光学性质的应用。

（3）方法方面：用坐标法解决几何问题。

六．布置作业：

x2y2例1. 已知椭圆方程为2516

1，若有光束自焦点A(3，0)射出，经二次反射回到A点，设二次反射点为B，C，如图3.1.2所示，则△ABC的周长为多少

？

（2）在生产生活中的应用

例2．某种碟形太阳能热水

器的外形示意图如图3.4.1，其中F为加热点；碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线以cm为单位的设计尺5 寸如图3.4.2．为了达到最佳加热效果，F应距碟底多少？

85

例3.电影放映机上的聚光灯泡的反射镜的轴截面是椭圆的一部40 分（如图所示），灯丝在焦点F2处，而且灯丝与反射镜的顶点A图3.4.2 图3.4.1 的距离|F2A|=1.5cm,过焦点且垂直于轴的弦|BC|=5.4cm,为了使电影机片门获得最强的光线，灯泡应安在距片门多远的地方？

解析：据椭圆镜面的光学性质，从椭圆的一个焦点射出的光线经过椭圆反射后应聚焦在另一个焦点上，故片门应放在另一个焦点F1上，因此需要求出焦距。

（3）在医学上的应用

激光消痣与体外碎石技术. 医学上用来对付肾结石，让人的肾结石位于椭圆的一个焦点的位置，在另一个焦点处释放的高能冲击波经椭圆面反射后集中在石头上，将其击碎，实现碎石.

（4）把光源变为声源也有类似性质及应用

如：北京天坛的回音壁就是根据椭圆的光学性质建成的。还有一个传说，据说二战时期德军有个椭圆面的洞穴，是用来关押战俘的，被关押的犯人不堪忍受折磨

，秘密商讨逃跑的计划，可每次的逃跑计划都会很快被看守知道。犯人们百思不得其解，开始相互猜疑，以为内部出现了内奸。其实他们内部并没有内奸。犯人们商讨的地方正好位于椭圆的一个焦点上，而看守却位于椭圆的另一个焦点，虽然商讨的声音很小，但经椭圆面墙壁反射后集中到看守所在的位置上，所以看守听得清清楚楚。

x2y2C:1881.如图，双曲线，又AC，已知A(4，22)，F(4，0)，若由F射至A的光线被双曲线C反射，反射光通过P(8，k),求k的值

。

2.请查阅相关资料进一步了解圆锥曲线的光学性质及应用。

3.你能将圆锥曲线的光学性质进行组合，尝试设计一些作品吗？

思考：1.如果不是从圆锥曲线的焦点发出的光，经圆锥曲线反射后会怎样呢？

图3.1.3 2.在圆锥曲线中能不能找到其它点也具备很好的光学性质？

有没有其它的曲线也具有类似的光学性质？

结束语：圆锥曲线的光学性质是奇妙的，奇妙的背后蕴含着奇妙的数学关系。我们只有善于观察，勤于钻研，及时总结，才能闪现更多的灵感，才能在奥妙的数学世界畅游。

2

附：圆锥曲线光学性质的相关图片

平行：远

汇聚：强

发散：广、弱

汇聚：强

汇聚：广、强

1.抛物线光学性质的应用图片

汽车远光灯太阳灶太阳灶

教师介绍抛物线的光学性质在实际生活中的应用：抛物线的这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择.同时鼓励学生提出自己的观点。

太阳灶：光和热一样经抛物面反射汇聚于一点，这一点处的温度就会很高，可以利用. 探照灯、汽车远光灯：在抛物面反射器焦点上的一个小灯光，射到抛物面的光线所产生的亮度是没有抛物面反射器的光线亮度的6000倍左右.

采集奥运圣火雷达天线

金门大喇叭

射电望远镜：射电望远镜的天线大多是抛物面. 是观测和研究来自太阳及其它天体的无线电波（射电波）的基本设备. 卫星接收器等都是依据同一原理设计的. 2.椭圆光学性质的应用图片

医学上：激光消痣与体外碎石技术. 医学上用来对付肾结石，让人的肾结石位于椭圆的一个焦点的位置，在另一个焦点处释放的高能冲击波经椭圆面反射后集中在石头上，将其击碎，实现碎石.

3

二战期间，德军有一个椭圆面的

洞穴用来关押战俘，被关押的犯人不堪

忍受折磨

，秘密商讨逃跑的计划，可

每次的逃跑计划都会很快被看守知道。

犯人们百思不得其解，开始相互猜疑，

以为内部出现了内奸。其实他们内部并没有内奸。

犯人们商讨的地方正好位于椭圆的一个焦点上，而看守却位于椭圆的另一个焦点，虽然商讨的声音很小，但经椭圆面墙壁反射后集中到看守所在的位置上，所以看守听得清清楚楚。

3. 双曲线光学性质的应用图片

转角镜、汽车后视镜：远处的物体在虚焦点前形成正立、缩小的虚像，可以反射大范围的缩小景观，主要用来扩大视野，口径相同的凸面镜视野比平面镜大.

反射式天文望远镜：反射望远镜主要用于天体物理方面的工作，是天文望远镜中最常见的形式. 目前世界上最大型最优秀的望远镜都是反射式望远镜. 这种望远镜的特点是镜筒很短而观察天体运动又很清楚, 遥远的星体成像于焦点.

4