3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学设计和教学实录

8.2.2 直线的倾斜角与斜率

【教学目标】

1. 掌握直线的倾斜角的概念，知道直线的倾斜角的范围．

2. 理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式，了解倾斜角与斜率之间的关系．

3. 让学生从学习中体会到用代数方法解决几何问题的优点，能够从不同角度去分析问题，体会代数与几何结合的数学魅力．

【教学重点】

直线的倾斜角和斜率．

【教学难点】

直线的斜率．

【教学方法】 这节课主要采用讲练结合的教学法．本节首先通过观察同一坐标系中的两条直线引入了直线倾斜角的定义，在明确了倾斜角范围后，定义了直线的斜率，最后讨论了直线斜率与直线上两个不同点坐标之间的关系．直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要引导学生正确理解概念． 【教学过程】

环节

教学内容

1．由一点能确定一条直线吗？

2．观察并回答问题：

y

A

1 C

B

－1 O 1 x

在图中，直线AB，AC都经过哪一点？它们相对于x轴的倾斜程度相同吗？

师生互动

设计意图

教师提出问题，学生讨论回引入本节课答．

题．

师：从图中可以看出，直线由直观图形引AC比直线AB更陡一些．在数学入问题，激发学生中，我们用倾斜角和斜率来衡量学习兴趣．

直线相对于x轴的倾斜程度．

明确直线倾斜角的定义．

1 引

入

新

课

1．直线倾斜角的定义

一般地，平面直角坐标系内，教师对定义进行三方面的诠直线向上的方向与x轴正方向所成释：

的最小正角叫做这条直线的倾斜（1）直线向上的方向；

角．

（2）x轴的正方向；

（3）最小的正角．

y

l

学生结合图形理解倾斜角的

概念．



x

O

特别地，当直线与y轴垂直时，教师强调与y轴垂直的直线规定这条直线的倾斜角为0．

（包括x轴）的倾斜角．

2．倾斜角的范围

0≤<180．

3．直线斜率的定义

倾斜角不是90的直线，它的倾

斜角的正切值叫做这条直线的斜率，

通常用k表示，即

k＝tan ．

练习一

已知直线的倾斜角，求对应的

斜率k：

（1）＝0；

（2）＝30；

（3）＝135；（4）＝120．

探究一

（1）由不同的两点P1(x1，y1)

和P2(x2，y2)能否确定一条直线？

（2）由P1和P2所确定的直线

的倾斜角也能确定吗？

新

（3）如果直线的倾斜角不等于课

90，直线的斜率也能确定吗？

探究二

设P1(x1，y1)和P2(x2，y2)：

（1）当x1＝x2时，直线P1P2

与x轴什么关系？直线的倾斜角是

多少？斜率存在吗？

（2）当y1＝y2时，直线P1P2

与y轴什么关系？直线的倾斜角是

多少？斜率存在吗？是多少？

（3）当x1≠x2，y1≠y2时，直线

的倾斜角存在吗？斜率存在吗？

斜率的坐标公式

一般地，若x1≠x2，过点P(x1，

y1)和P2(x2，y2)的直线斜率为

y2－y1k＝．

x2－x1

例

判断直线P1P2的斜率是否

存在．若存在，求出它的值：

（1）P1(3，4)，P2(－2，4)；

（2）P1(－2，0)，P2 (－5，3)；

（3）P1(3，8)，P2 (3，5)．

教师强调倾斜角是90的直线的斜率不存在．应当使学生明确所有的直线都有倾斜角，但与x轴垂直的直线的斜率不存在．

学生练习，教师巡视点评．

教师指明，当倾斜角是锐角时，斜率k为正值；当倾斜角是钝角时，斜率k为负值．

教师投影探究问题，学生分组讨论并尝试回答，教师点评．

教师提出问题，学生结合图形回答．

教师根据学生回答情况给予点评．

学生在回答（3）后，教师问：此时斜率怎么求呢？从而引出斜率的坐标公式．

教师强调x1≠x2．

教师引导学生解答（1）（3），进一步强调公式中x1≠x2这一条件．

倾斜角与斜率的关系．

使学生通过练习感悟倾斜角的变化对斜率的影响．

通过小组合作探究，使学生明确由两点确定一条直线，相应的倾斜角和斜率（如果存在）也相应确定．

通过探究问题，使学生了解P1，P2的坐标与直线P1P2的斜率以及倾斜角之间的关系．

斜率的坐标公式．

公式应用，强化对公式的掌握．

2

新

课

解

（1）因为P1，P2的横坐标不同，所以直线P1P2的斜率存在，而且斜率为

4－4k＝＝0；

－2－3（2）因为P1，P2的横坐标不同，所以直线P1P2的斜率存在，而且斜率为

3－0k＝＝－1；

－5－(－2)（3）因为P1，P2的横坐标相同，所以直线P1P2的斜率不存在．

练习二

判断直线P1P2的斜率是否存在．若存在，求出它的值：

（1）P1(1，－1)，P2(－3，2)；

（2）P1(3，4)，P2(3，2)．

学生做（2），教师巡视．

学生练习，教师巡视．

强化训练．

总结本节内容．

小

结

1．直线的倾斜角定义和范围．

教师引导学生共同回顾本节2．直线的斜率：

所学的知识．

k＝tan （≠90）

y2－y1

＝

(x≠x)．

x2－x112教材P76练习A组．

教材P76练习B组第1题(选做)．

学生标记作业．

作

业

针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置．

3