3.1直线的倾斜角与斜率（通用）特级教师教学实录

直线的方程教学设计

一.教材分析

教材内容

直线的方程是人教A版必修2 第三章的内容。本章首先探究确定直线位置的几何要素和它们在平面直角坐标系中的表示，建立直线的方程，然后通过方程，用代数方法研究有关的几何问题：包括判定两直线的位置关系、求两条直线的交点坐标、计算点到直线的距离、解决简单的线性规划问题（教材整合内容）等。代数方法研究直线问题的基本思路是在平面直角坐标系中建立直线的方程，通过方程，用代数方法解决几何问题。

教材地位和作用

解析几何研究问题的主要方法是坐标法，直线与方程是平面解析几何初步的第一章，用坐标法研究平面上最简单的图形——直线。直线与方程的学习为后面学习直线与圆，直线与圆锥曲线奠定基础。

高考命题分析

1.直线的方程问题单独考查的次数较少，多作为条件结合圆锥曲线进行综合命题，直线与圆的位置关系为高考命题的热点，需重点关注，此类试题难度中等偏下，多在选择题或填空题中出现．

2．圆锥曲线仍为高考考查的热点，一般为“一大一小”的形式，分值是17分，小题多考查圆锥曲线的标准方程与简单性质，解答题作为压轴题考查直线与圆锥曲线的位置关系、定点、定值、范围、探索性问题，难度较大．

3.直线方程是解析几何的一个基础内容，在高考中多与其他知识结合考查。

教学目标

本节主要复习直线的倾斜角与斜率和直线方程的五种形式，会根据题目条件求出直线的方程

教学重点：倾斜角与斜率的互化，能灵活运用直线方程的几种形式

教学难点:

分类讨论、数形结合、化归与转化等数学思想的应用。

二．教学方法

学情分析：学生已经学习了直线与方程的相关知识，长时间会遗忘一部分，在一轮复习中把基础知识进行全面系统的复习，再加上针对性练习，让学生掌握更完善更扎实，并总结出相应类型及方法。

学习方法：合作探究，交流展示，总结评价。

教学方法：讲练结合，巡视发现问题，参与学生讨论，点拨引导，总结完善。

三、教学过程设计

根据课标要求，现代数学课堂教学的特点以及我校“334”教学模式，我设计了以下教学流程：

知识梳理

1.直线的倾斜角与斜率

（1）直线的倾斜角

①定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴________与直线l________方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．

②倾斜角的范围为______________．

（2）直线的斜率

①定义：一条直线的倾斜角的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即

学生活动

上课前一天完成

教师活动

课前收起来检查完成情况

1

k________，倾斜角是90的直线斜率不存在．

②过两点的直线的斜率公式：

经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k______________________．当x1x2时，直线的斜率__________．

（3）直线的倾斜角与斜率k的关系

当为锐角时，越大k越____；当为钝角时，越大k越____；

2．直线方程的五种基本形式

名称

点斜式

斜截式

几何条件

过点x0,y0，斜率为k

斜率为k，纵截距为b

过两点两点式

（x1x2,y1y2）

横截距为截距式

方程

局限性

不含__________的直线

不含__________的直线

x1,y1和x2,y2

不含__________的直线

a，纵截距为

不含________和_______的直线

平面直角坐标系内的直线都适用

上课前一天完成

课前收起来检查完成情况

bab0

A,B,CA2B20

一般式

双基自测

1. 经过两点A(m，3)，B(1，2m)的直线的倾斜角为135°，则m的值为( ) A．－2 B．2 C．4 D．－4 2. 经过点P0(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为( ) A．x＋y＋1＝0 C．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0 D．x－y－5＝0 3.倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是( ) A．3x－y＋1＝0 C．3x＋y－3＝0 B．3x－y－3＝0 D．3x＋y＋3＝0 4．(2017·烟台模拟)如果AC＜0，BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( ) A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限

D．第四象限

5．直线l过原点且平分▱ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为________．

设计意图:学生提前预习，完成学案知识梳理和双基自测填空，有利于了解本堂课的学习目标，

做到心里有数。

2

典例分析与变式训练

（一）、直线的倾斜角与斜率

例1、(1) 直线l的倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍，求l

的斜率．

学生活教师活动

动

课前独教师随立完成机抽取此例

一名学生的学案在投影仪上展示，并给出评价和评分。然后用多媒体展示解答过程，让学生进行对比。用时3分钟

(2)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1，1)和Q(2，2)，若直线l：y=kx-1与线段PQ有交点，则实数k的取值范围是________．

【解析】(1) 由已知，设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. 2tan α33因为tan α＝3，所以tan 2α＝＝－. 所以l

的斜率是－. 21－tanα443(2) 如图所示，直线l：y=kx-1过定点A(0，－1)，当kQA＝，kPA＝－2，

23所以k≤－2或k≥. 2设计意图：学生独立完成是为了培养学生独立思维能力，因为考试毕竟需要学生独立完成，教师直接点评是为了给学生垂范，包括说话的语气，语调，教学仪态等，这样等学生下一次再作评价时，自然会受教师影响，可以做的更好。多媒体展示解答过程，可以培养学生解题规范意识和严谨性，避免考试中过失性失分。

变式训练1、(1)若直线l的斜率-1≤k≤1，则l的倾斜角的取值范围是____________ (2)若直线l的倾斜角[34,4] 则直线l的斜率k的取值范围是______________ 【解析】（1）0,, 44（2）k,11,

设计意图：例题之后及时变式训练有助于学生及时巩固相关知识，根据速度和质量给学生计分是为了提高学生快速思维能力和做事情的严谨性。

感悟：(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤

3快速完成举手示意

用时3分钟

自由举手发言，师生共用时2分钟

①求出斜率k＝tan α的取值范围．

②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．

求倾斜角时要注意斜率是否存在．

(2)斜率的求法

3

巡视学生解答情况，解答学生疑问，学生举手后，拿学生答案在投影仪上展示根据完成速度与质量分别计1至3分

教师点评，评分

①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率．

②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝y2－y1(x1≠x2－x1x2)求斜率．

设计意图：学生从具体问题中归纳总结出一般问题的解决方法，便于今后再遇到此类问题时能用通性通法解决。

3分钟时间小例2、根据下列条件，分别写出直线的方程：

组讨论22(1) 已知直线l过圆x＋(y－3)＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是并形成统一意_____________________ 见，展(2)过点P(－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为__________________．

示在小22【解析】(1)已知圆x＋(y－3)＝4的圆心为点(0，3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0黑板上，请垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0. 一个小组抽取(2)①当截距不为0时，设所求直线方程为

两组展xy示并进＋＝1，即x＋y－a＝0. aa行点因为点P(－2，3)在直线l上，

评，评分。其所以－2＋3－a＝0，所以a＝1，

他组可所求直线l的方程为x＋y－1＝0. 以补充，适②当截距为0时，设所求直线方程为y＝kx，

当加3分。

则有3＝－2k，即k＝－，

23此时直线l的方程为y＝－x，即3x＋2y＝0. 2综上，直线l的方程为x＋y－1＝0或3x＋2y＝0. 设计意图：让学生能灵活运用直线方程的几种形式，遇到截距时注意零截距的情况，会用分类讨论及数形结合的数学思想方法。

变式训练2、根据下列条件，分别写出直线的方程：

(1)经过点A(－3，2)，B(－3，5)；

(2)斜率为2，在x轴上的截距为－7；

322(3)若直线过点P－3，－且被圆x＋y＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为2____________ 4

（二）、直线的方程

用2分钟时间根据学生展示和评价以及补充的情况简单分析点评，并给评价小组打分，

快速完成举手示意

师生共用时3分钟

巡视学生解答情况，解答学生疑问，学生举手后，拿学生答案在投影

(4)．过点M(－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．

【解析】(1)显然A、B的横坐标相同，故直线AB与y轴平行，其方程为x＝－3. (2)由题意，直线过点(－7，0)．

代入直线的点斜式方程得y＝2 (x＋7)，即2x-y+14＝0. (3)若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x＝－3，代入圆的方程解得y＝±4，故该3直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y＋＝k(x＋233)，即kx－y＋3k－＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4.又圆的半径为5，2仪上展示根据完成速度与质量分别计1至3分

则圆心(0，0)到直线的距离为5－4＝223k－32k2＋1，

3解得k＝－，此时该直线的方程为3x＋4y＋15＝0. 45 (4)当直线过原点时，直线方程为y＝－x；

3当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，

a－a即x－y＝a.代入点(－3，5)，得a＝－8. 即直线方程为x－y＋8＝0. 设计意图：例题设计了一个零截距的题目，变式训练做了知道横截距和无斜率两种情况，可以很好的训练学生的灵活运用知识的能力。

（四）、课堂总结

解决方法：学生总结本堂课的收获，自由发言，能说出不同收获的每人次计2分，计入小组，教师最后总结点评各组得分情况。

设计意图：总结有助于学生更清晰的理清本堂课所复习的重点内容，发言有利于培养学生语言表达能力，教师总结评分有利于培养学生竞争的意识以及团队合作精神。

（五）布置作业

设计意图：思问课堂教学模式下，大部分问题是通过讨论，合作学习完成，学生可能课堂上觉得搞懂了，可能自己做的时候又会出现一些问题，课后练习可及时检查学生掌握情况。思考问题可拓展学生思维，培养学生勇于探索的科学精神。

五、板书设计：

设计意图：为了勾勒出本节课的教学主线，呈现完整的知识结构体系并突出重点，也是为了教会学生如何记好笔记。

六、教学设计理念：以学生自主学习为主线，通过学生积极参与、积极探索的学习方式，让学生的学习过程成为教师指导下的再创造。这也正是建构主义理论的本质要求，能为学生的终身学习和终身发展奠定良好的基础，也是当前新课程所追求的基本理念。

5

xy