1.2.1 充分条件与必要条件优秀公开课教案

1．理解命题的概念

2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系

3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义

热点题型一 四种命题及其真假判断

例1、 (1)已知命题α：如果x＜3，那么x＜5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3。关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是(

) ①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题。

②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题。

③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题。

A．①③

B．②

C．②③ D．①②③

(2)以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)。

①“若log2a＞0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；

②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；

③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题。

答案：(1)A (2)②

【提分秘籍】

在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系。要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题” “否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可。对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手。

【举一反三】

已知：命题“若函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(

) A．否命题是“若函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题

B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题

C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题

D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题

解析：由f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e－m≥0恒成立，∴m≤1。∴命题“若函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题。

答案：D 热点题型二 充分条件、必要条件的判断

例2、（2018年浙江卷）已知平面α，直线m，n满足mα，nA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A α，则“m∥n”是“m∥α”的

xxxxxxxxx

【变式探究】【2017天津，文2】设xR，则“2x0”是“|x1|1”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】2x0，则x2，x11，则1x11,0x2，x0x2xx2

，据此可知：“2x0”是“x11”的的必要的必要不充分条件，本题选择B选项. 【提分秘籍】

充要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断。

(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断。

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断。这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件。



【举一反三】 设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0，但方程x＋y－1＝0有无数多个解，不能确定x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l上”的充分而不必要条件。

答案：A 热点题型三 充分条件、必要条件的应用

例3．（2018年天津卷）设，则“”是“” 的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【变式探究】已知集合M＝{x|x＜－3或x＞5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}。

(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件；

(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个充分但不必要条件；

(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个必要但不充分条件。

解析：(1)由M∩P＝{x|5＜x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件是{a|－3≤a≤5}；

(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5＜x≤8}；反之，M∩P＝{x|5＜x≤8}未必有a＝0，故a＝0是所求的一个充分不必要条件；

(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个必要不充分条件就是另求一个集合Q，使{a|－3≤a≤5}是集合Q的一个真子集．如果{a|a≤5}时，未必有M∩P＝{x|5＜x≤8}，但是M∩P＝{x|5＜x≤8}时，必有a≤5，故{a|a≤5}是所求的一个必要不充分条件。

【提分秘籍】

与充要条件有关的参数问题的求解方法

解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系，并由此列出关于参数的不等式(组)求解。

【举一反三】

an＋an＋1原命题为“若＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的2判断依次如下，正确的是(

) A．真，真，真

B．假，假，真

C．真，真，假 D．假，假，假

答案：A 1.（2018年浙江卷）已知平面α，直线m，n满足mα，nA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】因为平行，所以是，所以根据线面平行的判定定理得的充分不必要条件，故选A. ，由不能得出与内任一直线α，则“m∥n”是“m∥α”的

2. （2018年北京卷）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】当则时，不成等比数列，所以不是充分条件；当”是“”是“成等比数列时，，所以是必要条件，综上所述，“3. （2018年天津卷）设，则“成等比数列”的必要不充分条件，故选B. ” 的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】求解不等式是“可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”” 的充分而不必要条件，本题选择A选项。

”为假命题的一组a，b的值依次为_________. 4.（2018年北京卷）能说明“若a﹥b，则

【答案】（答案不唯一）

1.【2017天津，文2】设xR，则“2x0”是“|x1|1”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】2x0，则x2，x11，则1x11,0x2，x0x2xx2

，据此可知：“2x0”是“x11”的的必要的必要不充分条件，本题选择B选项. 1.【2016高考天津文数】设x0，yR，则“xy”是“x|y|”的（ ）

（A）充要条件

（B）充分而不必要条件

（D）既不充分也不必要条件

（C）必要而不充分条件

【答案】C 【解析】34,3|4|,所以充分性不成立；x|y|yxy，必要性成立，故选C 2.【2016高考上海文科】设aR，则“a1”是“a21”的（ ）

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件

（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件

【答案】A 【解析】a1a21,a21a1或a1，所以“a1”是“a21”的充分非必要条件，选A. 1.【2015高考山东，文5】设mR,命题“若m0,则方程x2xm0有实根”的逆否命题是( ) （A）若方程x2xm0有实根，则m0

(B) 若方程x2xm0有实根，则m0

2(C) 若方程xxm0没有实根，则m0

(D) 若方程x2xm0没有实根，则m0

【答案】D 【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D. 2.【2015高考湖北，文3】命题“x0(0,)，lnx0x01”的否定是（ ）

A．x0(0,)，lnx0x01 C．x(0,)，lnxx1 【答案】C. B．x0(0,)，lnx0x01

D．x(0,)，lnxx1

1．（2014·安徽卷）

命题“∀x∈R，|x|＋x≥0”的否定是(

) ．A．∀x∈R，|x|＋x<0 B．∀x∈R，|x|＋x≤0

C．∃x0∈R，|x0|＋x0<0 D．∃x0∈R，|x0|＋x0≥0

【答案】C

【解析】易知该命题的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x0<0”．

2．（2014·福建卷）

命题“∀x∈[0，＋∞)，x＋x≥0”的否定是(

) A．∀x∈(－∞，0)，x＋x<0 B．∀x∈(－∞，0)，x＋x≥0

C．∃x0∈[0，＋∞)，x0＋x0<0 D．∃x0∈[0，＋∞)，x0＋x0≥0

【答案】C

【解析】“∀x∈[0，＋∞)，x＋x≥0”是含有全称量词的命题，其否定是“∃x0∈[0，＋∞)，x0＋x0<0”，故选C. 3．（2014·湖北卷）

命题“∀x∈R，x≠x”的否定是(

) A．∀x∈/R，x≠x B．∀x∈R，x＝x

C．∃x0∈/R，x0≠x0 D．∃x0∈R，x0＝x0

【答案】D

【解析】特称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，故命题“∀x∈R，x≠x”的否定是“∃x0∈R，x0＝x0”. 故选D. 4．（2014·湖南卷）

设命题p：∀x∈R，x＋1＞0，则綈p为(

) A．∃x0∈R，x0＋1＞0 B．∃x0∈R，x0＋1≤0

C．∃x0∈R，x0＋1＜0 D．∀x∈R，x＋1≤0

【答案】B

2222222222223333333222222

【解析】由全称命题的否定形式可得綈p：∃x0∈R，x0＋1≤0. 5．（2014·天津卷）

已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e>1，则綈p为(

) A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1

B. ∃x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1

C. ∀x＞0，总有(x＋1)e≤1

D. ∀x≤0，总有(x＋1)e≤1

【答案】B

xxx2