10.5 分式方程教学内容

《分式方程》

教学设计

节点id：362880184a15e9da014a15ee59e6002a 金陵中学龙湖分校王荣宝

【内容分析】

分式方程是初中数学的重点内容，本节课是苏科版八年级下册10．5《分式方程》第1课时．教学重点是分式方程的定义、解法、增根及应用，难点是增根和应用，让学生在学习过程中体会“类比”、“转化”、“方程”的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力．

【学情分析】

我校从2015年以来实行高效课堂，学生经过培养，具备了合作、交流、展示、点评、质疑、分析问题、解决问题的能力，前几节课学生已经学习了分式概念、分式的运算等有关知识，为本节课的学习打下了基础．

【教学目标】

1．知识与技能

（1）探究分式方程的定义并掌握分式方程的特征、解法、增根及应用．

（2）熟练利用分式方程数学模型分析问题、解决问题．

2．过程与方法

（1）通过“独学、互学、评学、导学、验学”等环节，“合作、交流、展示、点评、质疑”等方式

促进学生对知识的掌握．

（2）体会“类比”、“转化”、“方程”的数学思想的思维过程．

3．情感与态度

（1）进一步体会数学与生活的联系，了解数学的价值．

（2）增强学生合作与交流的意识，培养学习的兴趣．

【重难点分析】

1．重点：进一步掌握分式方程的定义、解法、增根及其应用．

2．难点：进一步理解增根的条件，灵活应用分式方程解决实际问题．

【策略分析】

1．在教学中，给学生提前发放学习单进行预习，在课堂中我采用了引导式、探究式的教学方法，以“问题串”的形式，“学生为主体，老师为主导，练习为主线”的思路贯穿整个课堂，并结合了多媒体辅助教学．

2．在学法中，通过“独学、互学、评学、导学、验学”等环节，“合作、交流、展示、点评、质疑”等方式促进学生对知识的掌握．

1

【教具准备】

教师：教学设计、黑板、幻灯片若干张、小组评价表、彩色粉笔、激光灯．

学生：课本、学习单、学生分成8个小组（每组6人，有1号、2号、3号、4号，5号，6号每人答对或答错都有不同的加分）根据分数评出本节课的优秀小组和优秀个人以资鼓励．

【教学过程】

一、新知探究

活动1——探究分式方程的定义

想一想：什么叫分式方程？由分式方程这几个字你联想到了哪些学过的知识？

（设计意图

通过对最近发展区知识的迁移，引导学生根据定义大胆猜测并尝试下定义并感知分式方程定义的核心）（投影分式方程的文字语言的描述定义）

巩固练习：指出下列关于x的方程中，是分式方程的是 （只填序号）．

①1x12x12yy1xy1x0

②+5

③

2

④1.

⑤1.

25x2x13ab（通过此题理解：像①、③、⑤题中这样的方程为什么不是分式方程？它们应该是什么方程？分母中含有未知数的方程叫做分式方程，分式方程的特征是：（1）方程中含有分母，（2）方程的分母中含有未知数．分母中是否含有未知数是区别分式方程与整式方程的标志，①、②、③、④题学生很容易掌握，⑤题学生不容易掌握，老师要点拨分析，如何看待其分母中的字母a和

b？本题中的方程是关于x的方程，未知数是x，其他字母都为字母常数．要注意分式方程与含有字母已知数方程的区别，学生容易出错，应着重强调．）

（设计意图

这一环节的设计，考察学生对基础知识的掌握，不是简单的让学生重复定义，而是通过展示一组方程让学生进行辨别，在此过程中学生必将调动自己对分式方程定义的理解，同时还要注意区分分式方程与整式方程，

⑤中辅助字母的设计又帮助学生理解分式方程定义的关键点——分母中含有未知数，所以本设计可以说是站在较高的层次上对分式方程定义的复习．）

活动2——探索分式方程的解法

写一个你喜欢的分式方程并思考解这个分式方程的一般步骤会有哪些．

（展示交流学生的方程，发现并交流错误原因．引导学生思考在在解分式方程过程中应该类比解带分母的一元一次方程步骤，展示学生的解方程过程中暴露出的错误，引导学生发现每一步应该注意什么？为后面学习进行铺垫，提前打好基础．）

（设计意图

旨在培养学生积极性主动思考的习惯，引导学生敢于主动进行数学类比、归纳总结的数学思维意识锻炼，从而提升数学课堂的数学味和自主互动的参与氛围）（老师巡视并给予适时的指导、帮助）

2

二、例题精讲

例1 解分式方程：

（1）

x－2432x3

（2）+ 2＝1；

（3）

0；=2-.x+2x－4xx-2x-33-x（师：先请学生独立完成后，老师再请一位3号或4号学生口头展示，有疑问的请其他学生补充，有必要时老师补充、纠正）

解分式方程的一般步骤：

（1）去分母（方程两边都乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程）

（2）去括号（利用去括号法则）

（3）移项（移谁改变谁的符号）

（4）合并同类项（利用合并同类项法则）

（5）化系数为1（系数是谁方程两边同时除以谁）

（6）验（双重）

（把所求得的未知数的值代入原分式方程进行检验，一看是否解方程正确，二看是否是增根，即：如果未知数的值使原分式方程的分母为0，则说明是增根，所以原分式方程无解，如果未知数的值使原分式方程的分母不为0，则说明不是增根，是原分式方程的根．引导学生思考分式方程产生增根的原因是什么？

另外，学生有可能在解题过程中：(1)最简公分母确定的不准确；(2)去分母时漏乘整式项；(3)去分母时忽略符号的变化；(4)忘记检验．通过这道题的解法，让学生更进一步知道，产生增根的原因是：在去分母时给分式方程的两边同乘以最简公分母，最简公分母可能为0了，则原分式方程就没有意义了，所以最后的检验是必须的．）

（设计意图

因为解分式方程是要求学生掌握的基本技能，所以先让学生复习解分式方程的一般步骤，然后让学生明确解题过程中应注意的问题．再通过独立解题过程中学生出现的问题，反思解题中常出现的错误，从正、反两个方面加深学生对知识的理解和掌握．）

活动:3——学以致用

问题1

甲、乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工一件，乙加工服装24件所用的时间与甲加工服装20件所用的时间相同．怎样用方程来描述其中数量之间的相等关系？

问题2

一个两位数的个位数字是4，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原两位数的比值是74 ．怎样用方程来描述其中数量之间的相等关系？

问题3

某校学生到离学校15km处植树，部分学生骑自行车出发40min后，其余学生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的3倍，全体学生同时到达．

怎样用方程来描述其中数量之间的相等关系？

3

（设计意图

分式方程数学模型是解决实际问题中的有效数学模型，问题1-3均来源于生活实际的应用题，引导学生感受研究一个新概念的一般内容、环节以及回顾解应用题的一般步骤是什么？（板书）着重引导学生养成自觉主动分析题意找到相等关系列方程的良好学习习惯．注意时间单位需一致，速度越快所用时间越少．板书每个问题相等的数量关系）

三、拓展延伸

x－a3若关于x的分式方程

－x＝1无解，则a=___________． x－1（师：先请学生独立思考完成，然后小组合作讨论后，再交流完成情况：投影展示学生完成的过程，同组选一名学生代表小组向全班同学进行同步点评，有疑问的请其他学生补充，有必要时老师强调、纠正并补充）

四、小结

同学们通过自学课本、导学案，课堂学习后，谈谈你的收获？你还有什么困惑？你获得

的数学思想？（学生交流后老师请学生回答）

．

（设计意图

学生自己畅所欲言谈收获，既对本节知识的复习，又对学生的归纳、表达能力进行了训练．通过本节课的学习，是对数学学有余力、更加感兴趣的学生进行能力提高，使他们得到更高的发展空间．）

五、作业布置

1．课堂作业：当堂反馈

（设计意图

做作业是学生巩固知识的有力保证，从而培养了学生自学能力和独立分析问题、解决问题的能力．）

2．家庭作业：

（1）已知关于x的分式方程m31的根是非负数，求m的取值范围．

x11xxn1（2）若分式方程

有增根，试求n的值．

x1(x1)(x2)xk2变式：若关于x的分式方程会产生增根，试求k的值．

x3x3

【问题分析】

第1题学生大多数可能只是这样做的: “m3m31，

1，x1x1x11xm-3=-(x-1),m-3=-x+1,x=1+3-m,x=4-m,∵x≥0,∴4-m≥0,-m≥-4,m≤4,所以答案就是：m≤4”．但是原分式方程是有根，所以要排除增根，要限制最简公分母x-1≠0,x≠1,即：4-m≠1,-m≠1-4,-m≠-3,m≠3,综合起来正

4

确答案就是：m≤4且m≠3．学生有可能要补充最简公分母x-1≠0，这一点由于学生审题不严最容易出错，老师要重点强调．另外可以让学生对这道题提出一种质疑并再请其他学生帮助解决，质疑可能有：根是非正数、根是负数、根是正数等等，则m的取值范围又是多少呢？

第2题，学生有可能对增根的条件考虑不周而导致错误，增根满足的条件：①必须使最简公分母为0；②必须是去分母后的整式方程的根；③把求出的常数值代入原分式方程中，如果能求出相应的x的值，则说明常数存在，增根也存在；如果求不出相应的x的值，则说明常数不存在，增根也不存在，应舍去．对于这道题有一定难度，学生由于对增根条件理解不透，容易出错，求出n的值为0或3，经过第三个条件的检验, n的值为3,所以检验是非常有必要的，老师应该着重强调．

（设计意图

解分式方程是基本的计算题题型之一，用途很广很重要，引入不同的题型，变式类似的题型，使学生更进一步掌握分式方程的定义、解法及增根，培养学生计算能力和解决问题的能力．这里设计的变式题用在第二天错题纠错练习，提升学生对该知识的理解掌握程度．）

（设计意图由于分式方程的增根问题是学生理解上的难点，学生在学过的情况下可能还会存在疑惑，因此安排了这一环节进行训练，所选题是在理解增根基础上的灵活应用，能够帮助学生较好的理解增根条件，并能利用其解决问题．）

六、当堂检测

1．解下列方程

40x7（1）；10x44(3)15152;x3x3(2)236;x-11xx21

(4)x51.2x552x2．当x为何值时，分式

13

与

的值相等？

xx－23．某校甲、乙两组同学同时出发去距离学校4km的植物园参观．甲组步行，乙组骑自行车，结果乙组比甲组早到20min．已知骑自行车的速度是步行速度的2倍．求甲、乙两组的速度．（列方程）

（通过本节课的复习，第1题、第2题，学生可能都能掌握，第3题，1-4号学生都能掌握，5号学生可能掌握，对于6号学生难度较大，所以下去以后，1号小组长、老师多帮助他们，另外，老师平时应对他们进行相应的交流和辅导．）

（设计意图

让学生独立完成，老师先订正小组长并评价加分后，小组长再订正小组内其他成员．通过这两道题的解答，一方面，让学生能很好的理解增根的条件、利用分式方程数学模型解决实际问题，从而突破本节课的难点，达到复习课预期的目的，培养了学生解决问题的能力；另一方面，检测学生掌握情况，以便老师在后面教学中做到心中有数、因材施教．每个教学环节如果都能对学生做出及时的综合评价，这样能激发学生的学习热情，改变学生的学习态度，不管在课堂中还是在课间，都让学生形成一种：比、学、赶、帮、超的精神，提高了学生的合作能力、竞争意识，以便将来为社会做出贡献．）

5

七、布置作业

课堂作业

当堂限时训练

家庭作业

“想一想”1、2 【板书设计】

10．5分式方程（1）

【教学反思】

1．亮点：

（1）本节课是分式方程的第一课，课前组织，安排有序，有课代表反馈家庭作业情况．

（2）在高效课堂的模式下，学生通过课前预习课本、学习单，课堂上老师以问题串的形式设计了知识框架图并以此引导学生从自身已有知识进行主动探究学习，实现新内容对本节知识有系统的把握，把所学知识条理化、系统化，有助于训练学生概括、归纳能力．通过“独学、互学、评学、导学、验学”等环节，“合作、交流、展示、点评、质疑”等方式促进了学生对知识的掌握，提高了分析问题、解决问题的能力．通过逐渐递进的练习，较好的达到复习巩固的目的，这样的程序符合学生的认知规律，使1-6号的学生得到了不同的发展和提高.但对于6号学生而言，学起来比较费劲，所以我们要充分发挥高效课堂小组建设，老师要多培训、多指导小组长1号学生，让小组长起带头作用、模范作用，帮助4号学生．另外，老师平时要多和6号学生交流、沟通、谈心，不要使他们厌学、失去信心，做到教育公正、平等．

（3）学生学习过程中，不断感受并经历渗透了“类比”、“转化”、“方程”的数学思想，了解了数学中方程研究的基本过程，培养了学生学习的兴趣．展示阳光，点评精彩，补充到位，每个教学环节都能对学生及时的评价．

（4）信息技术的发展，给教师和学生带来形象、生动、直观、具体、方便的课堂感受，效果也非常好．

2.不足：

（1）例题展演学生完成情况，对检验过程不够强调，对第2题应用题的等量关系突破的不是很好．

（2）老师的语言表达欠佳．

改进：首先，应用题第2题中，第一个等量关系2位学生答错了，应该在第3个学生答对以后

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就重新举例，这样能更好突破这类题的难点．其次，以后会多请教多学习，提高语言表达能力．

当然，很难有完美的课堂，本节课虽已突出重点，突破难点，但仍有不足之处，希望各位专家，提出宝贵的意见和建议，谢谢！

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