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一元二次方程复习课教学设计

兴旺初中

张英智

教学目标：

1、对一元二次方程的知识点进行梳理，构建知识体系。

2、通过对典型例题、易错题的讲解，让学生抓住解题的重点、突破学习的难点。

3、灵活运用解方程的方法，理解解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解题方法。

4、通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程模型解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用。培养学生的建模思想。

教学重点：运用所学知识，技能解决问题

教学难点：解题分析能力的培养

教师准备：制作课件

教学过程：

一、典型题例

知识点1 一元二次方程的概念

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程.

一元二次方程的一般形式：axbxc0(a0)

(a、b、c为常数，a≠0）

例1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是

A．x2210

2x

B．axbxc0

D．3x2xy5y0

222C．(x1)(x2)1

分析：本题是考查一元二次方程的概念.一元二次方程的概念是含有一个未知数且未知数的次数是二次的整式方程. 解： C 知识点2 ： 一元二次方程的解法

1、直接开方法

2、配方法

3、公式法

4、因式分解法

2axb

直接开方法：形如



(

a



b



0

)

2或

mx



n



a

(

m



0

,

a



0

)

的方程可以用直接开方解其根

配方法：

配方法解一元二次方程的解题过程

1、二次项系数化为1

2、移项：把含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边。

3、配方：方程的两边同加上一次项系数一半的平方

4、变形：方程变形为(x+m)2=n(n≥0)的形式

5、利用直接开平方的方法去解

公式法：

公式法解一元二次方程的解题过程



1、把方程化成一元二次方程的一般形式

2、写出方程各项的系数

3、计算出b2-4ac的值，看b2-4ac的值与0的关系，若b2-4ac的值小于0，则此方程没有实数根

。

22

4、当b2-4ac的值大于、等于0时，

代入求根公式

计算出方程的值

因式分解法：

用因式分解法解一元二次方程的步骤：

1、先化成一元二次方程的一般形式；

2、对含未知数的二次三项式进行因式分解；

3、令每个因式为0，求出一元二次方程的根

2 例2解方程x-4x＋1=0 分析：本题考查解一元二次方程.方法有多种，可以灵活选择方法. 解：解法一：移项，得x4x1．

配方，得x4x414，

(x2)23

由此可得x23

22-bb4acx=（b4ac0）2ax123，x223

解法二：a1,b4,c1.

b24ac(4)2411120，x41223.

2x123，x223

知识点3

一元二次方程根的判别式

2axbxc0(a0)根的情况决定于一元二次方程的判别式一元二次方程b24ac。

若b4ac＞0，方程有两个不相等的实数根；

若b4ac＝0，方程有两个相等的实数根；

若b4ac＜0，方程没有实数根；

注意：以上讨论是在一元二次方程(a≠0)的前提条件下，还要注意各项系数及符号。

例3.试写一个有两个不相等实根的一元二次方程: ．．分析：此题是一个开放性试题，写出的方程满足根的判别式大于0即可. 解：答案不唯一.如：x24x50

222

知识点四：一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程ax2bxc0(a0)当b4ac≥0时，方程有实数根，设这两个实数根为x1,x2，这两个根与系数的关系：x1x222bc,x1x2

aa例4.关于的一元二次方程x+2x+k+1=0的实数解是x1和x2。

（1）求k的取值范围；

（2）如果x1+x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值。

分析：本题把根的判别式及根与系数的关系结合在一起分析.都是在不解方程的前提下，运用判别式及根与系数的关系代入方程的系数而得. 2解：∵（1）方程有实数根.∴⊿=2-4（k+1）≥0解得：k≤0 K的取值范围是k≤0. （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-2,x1x2=k+1. x1+x2-x1x2=-2-（ k+1）

由已知，得：-2-（k+1）＜-1.解得：k＞-2. 又由（1）k≤0∴ -2＜k≤0∵

k为整数

∴k的值为-1和0. 例5.某市为争创全国文明卫生城，2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同．

（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；

（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？

分析：本题考查有关增长率的问题. 如果用a表示变化前的量，b表示变化后的量，n表示连续变化的时间次数，x表示变化的百分率，那么可以表示为a(1x)b.如果是求第n年的量可以直接用公式求得，若是求连续n年的和那么要分析是几次的和，再相加.当实际问题是增长，那么是用“+”，若是减少，那么用“-”.本题在分析时抓住关键词：以后每一年都比前一年增长x%.按公式可求. 解：（1）设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为x，则

2 2000（1+x）=2420．

解得：x=10%（负值已舍）．

即该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为10%．

2 （2）2012年需投入的资金为2420·（1+10%）=2928.2万元．

二、疑难点与易错点

1、）方程(x+1)(x-3)=x+1的解是（ ）

（A）2 （B）3 （C）－1，3 （D）－1，4 分析：本题考查解方程.学生容易在方程的两边同时除以（x+1）而导致丢解. 22、已知三角形的两边的长分别为3和6，第三边是方程x-6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）

A.11 B.13 C.11或13 D.11和13 分析：本题把三角形的三边关系与方程结合在一起解决问题.学生易忽略隐含条件：满足三角形的三边关系求出周长. 三、练习

n

2ax(13a)x2a10，求证：a取任何实数时，方程已知：关于x的方程ax2(13a)x2a10总有实数根.

1）当a=0时，原方程变为－x－1=0，方程的解为x= －1；

2ax(13a)x2a10，

2）当a≠0时，原方程为一元二次方程，13a4a(2a1)0

当b4ac0时，方程总有实数根，

∴2222(a1)0

a2a10整理得，

22(a1)0ax(13a)x2a10总∵a≠0时

总成立

所以a取任何实数时，方程有实数根.

四、小结

一元二次方程的定义、一元二次方程的标准形式、一元二次方程的根的意义；解一元二次方程、根的判别式以及根与系数的关系；用代数式表示实际问题的数量关系，找实际问题中的相等关系、根据相等关系列出一元二次方程、运用一元二次方程的思想解决实际问题. 五、作业

完成复习资料相应习题