3.1直线的倾斜角与斜率（通用）课堂实录

玉燕中学电子文档教案

课题名称：3.1

直线的倾斜角与斜率

第 1 课时

设计者：黄烨川

教材版本

章节名称

授课时间：

授课教师

人教版A版

3.1

直线的倾斜角与斜率

20 17 年 12 月 6 日 第 16 周 星期 3 黄烨川

授课班级

高一（10）班

修改者：

类别：【原创】

年级册别

高一级（必修2）

教学目标

重点

难点

教具

主要教学法

教学过程：

【问题导思】

（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.（2）理解直线倾斜角的唯一性.（3）理解直线斜率的存在性.（4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.直线的倾斜角、斜率的概念和公式.

直线的倾斜角、斜率的概念和公式

尺子、PPT 设问、探究教学法

1．在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？

【提示】

不能．

2．在平面直角坐标系中，过定点P(2,2)的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？

【提示】

不同．

1．倾斜角的定义

(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．倾斜角的范围

直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角．

1

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【问题导思】

如图(1)(2)，在日常生活中，我们常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”．

1．上图(1)(2)中的坡度相同吗？

32【提示】

不同，因为≠. 222．上图中的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？

【提示】

存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中坡度＝tan β. 1．直线的斜率

把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α. 2．斜率与倾斜角的对应关系

图示

倾斜角

(范围)

斜率

(范围)

y2－y1

直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝(x≠x).

x2－x112例1.设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(

) A．α＋45°

B．α－135°

C．135°－α

D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾角为α－135°

【思路探究】

画出图象辅助理解，由于条件中未指明α的范围，所以需综合考虑α的可能取值，以使旋转后的直线的倾斜角在大于或等于0°而小于180°的范围内．

【自主解答】

根据题意，画出图形，如图所示：

α＝0°

0°<α<90°

α＝90°

90°<α<180°

0

k>0

不存在

k<0

2

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因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：

当0°≤α＜135°，l1的倾斜角为α＋45°；

当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D. 小结：

1．解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．

2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．

变式训练：

一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，

则其倾斜角为(

) A．α

B．180°－α

C．180°－α或90°－α

D．90°＋α或90°－α

【解析】

如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.

【答案】

D 例2：

求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角．

(1)(－3,0)，(－2，3)；(2)(1，－2)，(5，－2)；

(3)(3,4)，(－2,9)；(4)(3,0)；(3，3)．

【思路探究】

依据直线的斜率公式求解，注意公式使用的条件．

3－0【自主解答】

(1)直线的斜率k＝＝3＝tan 60°，

－2－－3此直线的斜率为3，倾斜角为60°. －2＋2(2)直线的斜率k＝＝0，此直线的斜率为0，故倾斜角为0°. 5－19－4(3)直线的斜率k＝＝－1＝tan 135°，此直线的斜率为－1，倾斜角为135°. －2－3(4)因为两点的横坐标都为3，故直线斜率不存在，倾斜角为90°. 小结

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求直线AB斜率和倾斜角的步骤：

(1)当x1＝x2时，直线斜率不存在，其倾斜角为90°；

y2－y1(2)当x1≠x2时，直线的斜率k＝，倾斜角α利用k＝tan α求得．

x2－x1

变式训练：已知直线l经过两点M(－2，m)，N(m,4)，若直线l的倾斜角为45°，求实数m的值．

3

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【解】

由直线l的倾斜角为45°，可知直线l的斜率k＝tan 45°＝1，

又直线l经过两点M(－2，m)，N(m,4)，

4－m4－m故k＝.

由＝1得m＝1. m＋2m＋2例3：

已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，

求x2，y1的值．

【思路探究】

直线l的倾斜角已知可以求出其斜率且P1、P2、P3均在直线l上，故任两点的斜率均等于直线l的斜率，从而可以解出x2，y1的值．

【自主解答】

∵α＝45°，

∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1，

∵P1，P2，P3都在直线l上，

∴kP1P2＝kP2P3＝k. 5－y11－5∴＝＝1，

解之得：x2＝7，y1＝0. x2－23－x2小结：

用斜率公式可解决三点共线问题：

变式训练;如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求m的值．

【解】

kAB＝m－11－m8－17＝，kAC＝＝. 4－2－26－241－m7＝，

∴m＝－6.

44∵A、B、C三点共线，∴kAB＝kAC.即课堂小结：

1．倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度．

2．直线的斜率是直线倾斜角的正切值，但两者并不是一一对应关系．学会用数形结合的思想分析和理解直线的斜率同其倾斜角的关系．

y2－y13．运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率k＝应注意的问题：

x2－x1(1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1，y2－y1中x2与y2对应，x1与y1对应)．

(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在.

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