1.1.3 四种命题间的相互关系课堂实录【2】

1.1.2

四种命题

1.1.3

四种命题间的相互关系

自主学习

1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

2．会判断四种命题的真假．

⊙重点、难点

结合命题真假的判定，考查四种命题的结构．(重点) 掌握四种命题之间的相互关系．(重点) 等价命题的应用．(难点)

1．四种命题的概念：

(1)对于两个命题，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．

(2)一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．

(3)一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．

2．四种命题的命题结构：

用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是：

原命题：若p成立，则q成立．即“若p，则q”．

逆命题：若q成立，则p成立．即“若q，则p”．

否命题：若¬p成立，则¬q成立．即“若¬p，则¬q”．

逆否命题：若¬q成立，则¬p成立．即“若¬q，则¬p”．

3．四种命题的真假性之间的关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

对点讲练

命题的转换及命题的真假

【例1】

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

(1)实数的平方是非负数；

(2)等高的两个三角形是全等三角形；

(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．

解

(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．

否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．

逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．

(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．真命题．

否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．真命题．

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．假命题．

(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．假命题．

否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．假命题．

逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．

反思感悟

分清条件和结论，即可容易的写出各种命题．判断一个命题为假，只需举出一个反例．

变式迁移1

判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断

这些命题的真假．

(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；

(2)若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根．

解

(1)原命题是真命题．

逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，真命题．

否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，真命题.

逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，真命题．

(2)原命题是真命题．

逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1，假命题．

否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．

逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则有q≥1，真命题．

等价命题的应用

【例2】

判断命题“已知a、x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

解

因逆否命题的真假与原命题一致，故判断原命题即可，

因此，只须Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0. 7即4a－7≥0，∴a≥4>1. 原命题为真，故逆否命题为真．

反思感悟

由于互为逆否的命题真假性一致，因此当原命题的真假难判断时，可以判断逆否命题的真假，当否命题的真假难判断时，可以判断逆命题的真假．

变式迁移2

已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.证明：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0. 证明

要证明命题不易入手，则证明其逆否命题即可．

原命题的逆否命题为“若a＋b<0，

则f(a)＋f(b)

若a＋b<0，则a<－b，b<－a，

又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

间接证明

【例3】

若p2＋q2＝2，求证：p＋q≤2. 111证明

若p＋q>2，则p2＋q2＝2[(p＋q)2＋(p－q)2]≥2(p＋q)2>2×22＝2，即p2＋q2>2，所以p2＋q2≠2.这表明原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．

反思感悟

将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”视为原命题，则逆否命题为“若p＋q>2，则p2＋q2≠2”，原命题不容易证明时，证明其逆否命题成立即可．

变式迁移3

证明：若x2＋y2＝0，则x＝y＝0. 证明

若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，

则x2>0，所以x2＋y2>0，即x2＋y2≠0.

这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．

1．由于互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．因此，四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．

2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．

课时作业

一、选择题

1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 答案

B 解析

由a>－3⇒a>－6，但由a>－6a>－3，

故原命题及原命题的逆否命题为真命题，故选B. 2．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是(

) A．若A∪B≠A，则A⊇B

B．若A∩B≠A，则AB

C．若AB，则A∩B≠A

D．若A⊇B，则A∩B≠A

答案

C 3．命题“若x2<1，则－1

) A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1

B．若－11或x<－1，则x2>1

D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1 答案

D 4．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是(

) A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数

B．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数

C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

D．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

答案

A 解析

由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．

5．有下列四个命题，其中真命题有(

) ①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．

A．①②

B．②③

C．①③

D．③④

答案

C

解析

①的逆命题显然成立；②的否命题为“如果三角形不全等，则它们的面积不相等”，由三角形的面积公式可知②的否命题为假命题；③的逆命题中，因方程x2＋2x＋q＝0有实根，则Δ＝4－4q≥0，即q≤1，故③的逆命题为真命题；④的逆否命题与命题④同真假，④是假命题，故选C. 二、填空题

6．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是____________________，逆否命题是__________________．

答案

若A∪B≠B，则AB

若AB，则A∪B≠B

7．命题“若x、y是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是________________________________．

答案

若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数

三、解答题

8．把命题“正方形的四条边相等”改写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．

解

原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．

逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．

逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．

9．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0. 证明

假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，

∴f(a)

又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，

∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0. 即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．