1.1.2 简单组合体的结构特征教学设计方案

第2课时

圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征

教学目标

1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.能根据条件判断几何体的类型. 2.了解圆柱、圆锥、圆台的底面、母线、侧面、轴的意义. 3.了解与正方体、球有关的简单组合体及其结构特征. 教学重难点

重点：组合体的结构特征

难点：组合体的结构特征

自

主

预

习

1.旋转体

(1)圆柱

①定义：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. ②相关概念(图1) ③表示法：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中圆柱表示为圆柱O′O.

(2)圆锥

①定义：以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥. ②相关概念(图2) ③表示法：圆锥用表示它的轴的字母表示，图中圆锥表示为圆锥SO. (3)圆台

①定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. ②相关概念(图3)

③表示法：圆台用表示轴的字母表示，图中圆台表示为圆台OO′.

(4)球

①定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. ②相关概念(图4) ③表示法：球常用表示球心的字母表示，图中的球表示为球O. 2.简单组合体

(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的. (2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成. 课堂练习

1.判断题

(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线.(×) (2)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.(×) (3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.(√) (4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.(×) 提示

(1)所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符. (2)若绕斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体.

(3)根据圆台的定义知，正确.

(4)旋转后形成的是球面. 2.以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是(

) A.球

B.圆台

C.圆锥

D.圆柱

解析

旋转过程中，与旋转轴垂直的线段形成垂直于旋转轴的圆面，与旋转轴平行的线段形成与旋转轴等距的曲面，所以其余三边旋转一周所围成的旋转体是圆柱.

答案

D 3.下列几何体是台体的是(

)

解析

台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.

答案

D 4.等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°，所得几何体是________. 解析

结合旋转体及圆锥的特征知，所得几何体为圆锥.

答案

圆锥

类型一

旋转体的结构特征

【例1】

判断下列各命题是否正确：

(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；

(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；

(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；

(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球. 解

(1)错.由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴. (2)错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示.

(3)正确. (4)错.应为球面. 规律方法

1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.

2.只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误. 【训练1】

下列叙述中正确的个数是(

) ①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台. A.0

B.1

C.2

D.3 解析

①应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可得到一个圆锥和一个圆台.故四句话全不正确. 答案

A

类型二

简单组合体的结构特征

【例2】

如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰.分别以AB，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征.

解

(1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图(1)所示. (2)以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥.如图(2)所示. (3)以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥.如图(3)所示.

规律方法

1.平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成.

2.必要时作模型培养动手能力. 【训练2】

如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？

解

旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.

类型三

有关几何体的计算问题(互动探究) 【例3】

如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长.

[思路探究] 探究点一

圆锥、圆台的轴截面是什么？

提示

圆锥的轴截面为等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形. 探究点二

解决此问题的关键是什么？

提示

解决此问题关键是，作出轴截面，然后利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解. 解

设圆台的母线长为l cm，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r，4r. 过轴SO作截面，如图所示.

SA′O′A′3r1则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.∴SA＝OA.∴＝4r＝4. 3＋l解得l＝9(cm)，即圆台的母线长为9 cm. 规律方法

用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解. 【训练3】

一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π

cm2和25π cm2.求：

(1)圆台的高；

(2)截得此圆台的圆锥的母线长.

解

如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为h

cm，截得该圆台的圆锥的母线为x cm，由条件可得圆台上底半径r′＝2 cm，下底半径r＝5 cm.

(1)由勾股定理得h＝122－（5－2）2＝315(cm). x－122(2)由三角形相似得：x＝5，解得x＝20(cm). 答：(1)圆台的高为315 cm，(2)截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. [课堂小结] 1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.

2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想. 3.处理组合体问题常采用分割思想. 4.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.

1.下图是由哪个平面图形旋转得到的(

)

解析

组合体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台，因此应该是由上半部分为三角形，下半部分为梯形的平面图形旋转而成的，观察四个选项得D正确.

答案

D 2.下面几何体的截面一定是圆面的是(

) A.圆台

B.球

C.圆柱

D.棱柱

解析

截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球.

答案

B 3.一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm. 解析

h＝20cos 30°＝103 (cm). 答案

103 4.在半径等于13 cm的球内有一个截面，它的面积是25π

cm2，求球心到截面的距离. 解

设截面圆半径为r cm，

∵πr2＝25π，∴r＝5(cm). 设球心到截面的距离为d cm，球的半径为R cm，则d＝R2－r2＝132－52

＝12(cm).

故球心到截面的距离为12 cm.

基

础

过

关

1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是(

) A.圆柱

B.圆锥

C.圆台

D.两个圆锥

解析

连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥. 答案

D 2.过球面上任意两点A、B作大圆，可能的个数是(

) A.有且只有一个

C.无数个

B.一个或无穷多个

D.以上均不正确

解析

当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆.

答案

B

3.在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是(

)

A.一个棱柱中挖去一个棱柱

B.一个棱柱中挖去一个圆柱

C.一个圆柱中挖去一个棱锥

D.一个棱台中挖去一个圆柱

解析

一个六棱柱挖去一个等高的圆柱.

答案

B 4.若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________. 解析

设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝42－r2.

1所以由题意可知2·2r·h＝r42－r2＝8，

∴r2＝8，∴h＝22. 答案

22 5.圆台两底面的半径分别是2 cm和5 cm，母线长是310 cm，则它的轴截面的面积是________cm2. 解析

如图所示，作出轴截面，过点A作AM⊥BC于点M，则BM＝5－2＝3(cm)，AM＝AB2－BM2＝9 cm，

1∴S梯形ABCD＝2×(4＋10)×9＝63(cm2).

答案

63 6.如图所示，几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴.

解

先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形.旋转前的平面图形如下：

7.用一个平行于圆锥底面的平面截一个圆锥得到一个圆台，这个圆台上、下底面半径的比为1∶3，截去的圆锥的母线长为3 cm，求圆台的母线长. 解

设圆台的母线长为y cm，截得的圆台上、下底面半径分别为x cm，3x cm，如图所示，根据相似三角形的性质得3x＝3x，解得y＝6.故圆台的母线长为6 cm. 3＋y

能

力

提

升

8.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的(

)

解析

由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B. 答案

B 9.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是(

) A.4

解析

如图所示，

B.3 C.2

D.0.5

∵两个平行截面的面积分别为5π、8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝5，2r2＝22.∵球心到两个截面的距离d1＝R2－r1，d2＝R2－r22，

∴d1－d2＝R2－5－R2－8＝1，∴R2＝9，∴R＝3. 答案

B 10.长为8 cm，宽为6 cm的矩形绕其一边所在直线旋转而成的圆柱的底面面积为______cm2，母线长为______cm. 解析

若圆柱是矩形绕其宽所在直线旋转而成的，则其底面半径为8 cm，底面面积为64π

cm2，其母线长为6

cm；若圆柱是矩形绕其长所在直线旋转而成的，则其底面半径为6 cm，底面面积为36π

cm2，其母线长为8 cm.

答案

64π或36π；6或8 11.已知圆锥的底面半径为r，高为h，正方体ABCD－A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长.

解

过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和

2x. 因为△VA1C1∽VMN，

A1C1VO12xh－x所以MN＝VO，即2r＝h，

所以2hx＝2rh－2rx，

即x＝2rh. 2r＋2h2rh. 2r＋2h探

究

创

新

故这个正方体的棱长为

12.如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：

(1)绳子的最短长度的平方f(x)；

(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；

(3)f(x)的最大值. 解

将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长，

∴L＝2πr＝2π. 2πL∴∠ASM＝×360°＝×360°＝90°. 2πl2π×4(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝x2＋16(0≤x≤4). f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4). (2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，

11在△SAM中，∵S△SAM＝2SA·SM＝2AM·SR，

SA·SM4x∴SR＝AM＝2(0≤x≤4)，

x＋16即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(3)∵f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函数，

∴f(x)的最大值为f(4)＝32.

4x(0≤x≤4). x2＋16