4.3.2 空间两点间的距离公式教学内容分析

4.3.2 空间两点间的距离公式

1.了解空间两点间的距离公式的推导过程和方法. 2.掌握空间两点间的距离公式. 3.能够应用空间两点间的距离公式解决简单的问题.

空间两点间的距离

(1)已知空间中任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则

|P1P2|=__________________________. (2)空间中任意一点P(x,y,z)与原点O的距离为|OP|=__________.

1.点A(3，6，1)与B(5，3，-1)的距离是(

) A.4

B.

7

C.

17

D. 192.已知A(-2,1,m),B(-2,2,0),若|AB|=1,则m=________. 3.已知点A(1,1,1),B(3,3,3),点P在x轴上,且|PA|=|PB|,则P点坐标为________.

空间两点间的距离公式

探究1:观察空间两点间的距离公式,|P1P2|=

x1x2y1y2z1z2222探究以下问题. (1)空间两点间的距离公式有何特征? 提示:空间两点间的距离公式右端是同名坐标的差的平方和的算数平方根. (2)空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式有什么关系? 提示:空间两点间的距离公式是平面内两点间的距离公式的推广,其形式和结构特征是相同的,只是多出一组坐标. 探究2:结合空间两点间的距离公式,探究式子(x1-x2)2+(y1-y2)2 +(z1-z2)2的几何意义是什么? 提示:式子(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2表示两点P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2)距离的平方. 【拓展延伸】空间两点间的距离公式的几何意义

空间中任意一点P(x,y,z)到原点O的距离OP=

x

2



y

2



z

2

,当OP为定值时,

=r(r>0)的几何意义是以原点O为球心, 以r为半径的球面. 【探究总结】对空间两点间距离公式的三点说明

(1)空间两点间距离公式是平面内两点间距离公式的推广. (2)公式的推导是转化成平面内两点之间的距离,结合勾股定理推出的. (3)公式中x1,x2及y1,y2及z1,z2的顺序可以变换. 类型一

空间两点间的距离公式

1.点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于(

) 2.设点P在x轴上，它到点P1(0，

，3)的距离为到点P2(0,1,-1)的距离的两倍，求点P的坐标. 【解题指南】1.先求出点B的坐标,再由距离公式求解. 2.先根据x轴上点的坐标特点设出点P的坐标(a,0,0),再根据两点间距离公式列出关于a的方程,然后解方程即可. 【延伸探究】若题2中“点P在x轴上”换为“点P在z轴上”其他条件不变，其结论又如何呢？

【规律总结】利用空间两点间距离公式求距离的两个步骤

【变式训练】

已知点A(x,1,2)和点B(2，3，4)，且|AB|=

，则实数x的值

是________. 类型二

空间两点间距离公式的应用

1.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状为(

) A.等腰三角形

B.等边三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形

2.如图,已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,M为BD′的中点,点N在A′C′上,且|A′N|=3|NC′|,试求|MN|.

【解题指南】

1.先利用空间两点间距离公式求出三角形的三边长,再根据三角形的三边确定三角形的形状. 2.先根据空间几何体的结构特征建立空间直角坐标系,然后根据题目中的条件求出点M,N的坐标,最后利用空间两点间距离公式即可求出|MN|. 【规律总结】两点间距离公式在几何中的两个应用

(1)求立体几何中线段长度问题

①建系:将立体图形放在空间直角坐标系中. ②定坐标:在空间直角坐标系中,根据条件确定有关的点的坐标. ③定距离:利用空间两点间距离公式确定所求线段的长. (2)判断三角形形状

①利用两点间距离公式求三边长. ②结合三边长及三角形有关知识判断三角形的形状. 【拓展延伸】建立空间直角坐标系遵循的两个原则

(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. (2)充分利用几何图形的对称性. 【变式训练】

四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=1,AD=2,SA=1,且SA⊥底面ABCD,问边BC上是否存在异于B,C的点

P,使得∠SPD是直角? 易错案例

利用两点间的距离公式求点的坐标

【典例】(2015·惠州高一检测)在空间中,已知点A(-1,-1,2),点B是

平面xOy内的直线x+y=1上的动点,则当A,B两点的距离最短时,此时点

B的坐标是______________. 【失误案例】

【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因在于未能正确地利用直线方程设出点B的坐标.

【防范措施】

1.借助点的特征巧设点的坐标

如果点位于坐标轴、坐标平面、某条直线上等特殊位置,依据特征设点,可方便运算.如本例中点在平面xOy内的直线x+y=1上,故设点时借助这一性质将距离表示为关于一个变量x的函数,易于求出最小值. 2.坐标化解决位置问题

当空间几何的位置问题利用空间的点、线、面的位置关系解决比较复杂时,可建立空间直角坐标系,利用坐标则可以方便地处理.如本例中设出点B的坐标后转化为函数的最值问题,从而使问题得以解决.