习题3.2主要内容及教案内容

§3.2.3立体几何中的向量方法

——利用空间向量求空间角

教学目标

1.使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；

2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；

3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点

求解二面角的向量方法

教学难点 二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系

教学过程

一、复习引入

1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）

2．向量的有关知识：

（1）两向量数量积的定义：ab|a||b|cosa,b

（2）两向量夹角公式：cosa,bab|a||b|

a （3）平面的法向量：与平面垂直的向量

二、知识讲解与典例分析

O b 知识点1：面直线所成的角（范围：(0,]）

2（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´

所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b

所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角

设两异面直线a、b的方向向量分别为a和b，

问题1：

当a与b的夹角不大于90°时，异面直线a、b

所成

的角与a

和b

的夹角的关系？ a,b问题 2：a与b的夹角大于90°时，，异面直线a、b

所成的角

baOaOb与a

和b的夹角的关系？ a,b结论：异面直线a、b所成的角的余弦值为cos|cosm,n|

1 |mn||m||n|

思考：在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E1与F1分别为A1B1、

D1zF1C1B1yC1D1的四等分点，求异面直线DF1与BE1的夹角余弦值？

（1）方法总结：①几何法；②向量法

（2）cosDF1,BE1与cosDF1,E1B相等吗？

（3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？

A1DE1CBAx例1如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为2a，求AC1和CB1所成的角. C1解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。

A1B1 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。

Z 解：如图建立空间直角坐标系Axyz，则

CA(0,0,0),C1(3131a,a,2a),C(a,a,0),B1(0,a,2a)

A2222xDBy y3131  AC1(a,a,2a)，CB1(a,a,2a)

222232aAC1CB11 即cosAC1,CB122

2|AC1||CB1|3ax 

3练习1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，现将△AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=OO1，取A1B1

、A1O1的中点D1

、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。

解：以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，并设OA=1, AC1和CB1所成的角为111

,0,1) ，D1(

,

,1)

222111AF1(,0,1),BD1(,,1)

222则A(1,0,0) ，B(0,1,0) ，F1(cosAF1,BD1AF1BD1|AF1||BD1|101304

105342所以，异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值为

知识点2、直线与平面所成的角（范围：[0,]）

2思考：设平面的法向量为n，则n,BA与的关系？

AnOA2 A（图1）

BBOBO

（图2）

2n,BAn,BA2sin

|cosn,AB|据图分析可得：结论：例2、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为2a，求AC1和面AA1B1B所成角的正弦值. 分析：直线与平面所成的角步骤： 311. 求出平面的法向量

AC1(a,a,2a)222. 求出直线的方向向量

3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角

解：如图建立空间直角坐标系Axyz，则AA1(0,0,2a),AB(0,a,0),

AC1(31a,a,2a)

22A1 设平面AA1B1B的法向量为n(x,y,z)

nAA102az0y0 由

z0ay0nAB0取x1，n(1,0,0)

Z CC1B1AxcosAC1,nAC1n|AC1||N|32a12

223aDByy x 1AC1和面AA1B1B所成角的正弦值. 2练习：正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、DD1的中点.求直线B1C1与z平面AB1C所成的角的正弦值.

知识点3：二面角（范围：[0,]）

B1A1C1D1AAxBBDyC①方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面

3 B

角的棱）的夹角。如图，设二面角l的大小为，其中ABl,AB,CDl,CD.

结论：cos

cosAB,CDABCD|AB||CD|

例3 、

如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线

（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为

a

和

b ,CD的长为c , AB的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.

BDb

，

CDc

，

ABd.

解：如图ACa

，根据向量的加法法则, ABACCDDB.

dAB(ACCDDB)2

ACCDBD2(ACCDACDBCDDB)

22222a2c2b22ACDB

a2c2b22CADB

于是，得2CADBabcd

设向量CA与DB

的夹角为，就是库与水坝所成的二面角. 因此 2abcos2222a2b2c2d2.

a2b2c2d2.

所以 cos2aba2b2c2d2.

库底与水坝所成二面角的余弦值是2ab②法向量法

n,n

n1,n2n1,n2

12n1,n2

n1n2

n2

n1

l l

结论： 或

cosn1,n2coscosn1,n2cos

4

归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角. 1ABC90，SA面ABCD，SAABBC1，AD，例4、如图，ABCD是一直角梯形，2z求面SCD与面SBA所成二面角的余弦值. 解：如图建立空间直角坐标系Axyz，则

1A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,,0),S(0,0,1)

21 易知面SBA的法向量为n1AD(0,,0)

211 CD(1,,0),SD(0,,1)

22SBACDyx 设面SCD的法向量为n2(x,y,z)，则有

yx012 ，取z1，得x1,y2，n2(1,,1) 2yz02cosn1,n2n1n2|n1||n2|6

3又n1方向朝面内，n2方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角

即所求二面角的余弦值为6. 3练习：正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、DD1的中点.求二面角FAED的余弦值。

1111解：由题意知，F(0,1,),E(,1,0)，则AF(0,1,),AE(,1,0)

2222设平面AEF的法向量为n(x,y,z)，则

1yz0nAF02，取y1，得xz2

1xy0nAE02B1zA1D1 n(2,1,2)

又平面AED的法向量为AA)

1(0,0,1x

5 C1AFDyBCE

cosn,AA1nAA1|n||AA1|22

3132

3 观察图形知，二面角FAED为锐角，所以所求二面角FAED的余弦值为三、课堂小结

1．异面直线所成的角：cos|cosa,b| 2．直线和平面所成的角：sin|cosAB,n|

3．二面角：五、布置作业

coscosn1,n2或coscosn1,n2. 6