复习参考题教学设计(第二课时)

题型一

待定系数法的应用

待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的方法.直线的方程常用待定系数法求解. 选择合适的直线方程的形式是很重要的，一般情况下，与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式方程；与斜率有关的，可设直线的斜截式或点斜式方程等. 例1

直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程. 解

方法一

设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2

4x0＋y0＋3＝0，－x0,4－y0)，并且满足

3－2－x0－54－y0－5＝0，4x0＋y0＋3＝0，x0＝－2，即解得

3x0－5y0＋31＝0，y0＝5，

y－2x－－1因此直线l的方程为＝，

5－2－2－－1即3x＋y＋1＝0. 方法二

设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，

即kx－y＋k＋2＝0. kx－y＋k＋2＝0，由

4x＋y＋3＝0，

－k－5得x＝. k＋4kx－y＋k＋2＝0，由

3x－5y－5＝0，－5k－15得x＝. 5k－3－k－5－5k－15则＋＝－2，解得k＝－3. k＋45k－3因此所求直线方程为y－2＝－3(x＋1)，

即3x＋y＋1＝0. 跟踪训练1

求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为2的直线的方程. 解

当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，

即kx－y＝0.由题意知1解得k＝1或k＝－. 7所以所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0. 当直线不经过原点时，

xy设所求直线的方程为＋＝1，即x＋y－a＝0. aa|3＋1－a|由题意知＝2，

2解得a＝2或a＝6. 所以所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0. |3k－1|＝2，

k2＋1

综上可知，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0. 题型二

数形结合思想的应用

数形结合是解析几何的灵魂，两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点，常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题转化为代数问题来解决，这就是数形结合. 例2

求函数y＝|x2－2x＋5－x2－4x＋5|的最大值与最小值，并求取最大值或最小值时x的值. 解

将已知条件变形为

y＝|x－12＋22－x－22＋12| ＝|x－12＋0－22－x－22＋0－12|. 故设M(x,0)，A(1,2)，B(2,1)，

∴原函数变为y＝||MA|－|MB||.

则上式的几何意义为：x轴上的点M(x,0)到定点A(1,2)与B(2,1)的距离的差的绝对值，由图可知，当|AM|＝|BM|时，

y取最小值0. 即x－12＋4＝x－22＋1，解得x＝0，此时点M在坐标原点，

y最小＝0. 又由三角形性质可知||MA|－|MB||≤|AB|，即当||MA|－|MB||＝|AB|，也即是当A、B、M三点共线时，y取最大值. 由已知得AB的方程为y－2＝－(x－1)，

即y＝－x＋3，令y＝0得x＝3，

∴当x＝3时，y最大＝|AB|＝2－12＋1－22＝2. 跟踪训练2

已知实数x、y满足4x＋3y－10＝0，求x2＋y2的最小值.

解

设点P(x，y)，则点P在直线l：4x＋3y－10＝0上，

x2＋y2＝(x2＋y2)2

＝(x－02＋y－02)2

＝|OP|2，

如图所示，当OP⊥l时，|OP|取最小值|OM|，

原点O到直线l的距离|OM|＝d＝即|OP|的最小值是2. 所以x2＋y2的最小值是4. |－10|＝2，

42＋32题型三

分类讨论思想的应用

本章涉及直线方程的形式时，常遇到斜率的存在性问题的讨论，如两直线平行(或垂直)时，斜率是否存在；已知直线过定点时，选择点斜式方程，要考虑斜率是否存在. 例3

过点P(－1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程. 解

(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，符合题意；

(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y－2＝kx. 2令y＝0，得x＝－1与x＝－. k2由题意得|－1＋|＝1，即k＝1. k∴两条直线的方程分别为y＝x＋1，y＝x＋2，

即为x－y＋1＝0，x－y＋2＝0. 综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0. 跟踪训练3

已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，求实数a的值. 3a－0解

l1的斜率k1＝＝a，

1－－2－2a－－11－2a当a≠0时，l2的斜率k2＝＝. aa－01－2a∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即a×＝－1，得a＝1. a当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，

A(－2,0)、B(1,0)，这时直线l1为x轴，显然l1⊥l2.

综上可知，实数a的值为1,0. 题型四

对称问题的求法

1.中心对称

(1)两点关于点对称：设P1(x1，y1)，P(a，b)，则

P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2a－x1,2b－y1)，即P为线段P1P2的中点. (2)两直线关于点对称：设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另外一条直线上，必有l1∥l2，且P到l1、l2的距离相等. 2.轴对称

两点关于直线对称：设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上. 例4

已知直线l：y＝3x＋3，试求：

(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标；

(2)直线l关于点A(3,2)对称的直线方程. 解

(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l. y′＋5x′＋4＝3·＋322即y′－53＝－1x′－4·∴P′点的坐标为(－2,7). (2)设直线l关于点A(3,2)对称的直线为l3，则直线l上任一点P(x1，y1)关于点A的对称点P3(x3，y3)一定在直线l3上，反之也成立.

x′＝－2，解得. y′＝7

∴y＋y2＝213x1＋x3＝32

x1＝6－x3，解得，代入l的方程后，得3x3－y3－17＝0.即l3的方程为3xy1＝4－y3

－y－17＝0. 跟踪训练4

在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：

(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；

(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小. 解

(1)如图，B关于l的对称点B′(3,3).

直线AB′的方程为2x＋y－9＝0，

2x＋y－9＝0x＝2由，解得，

3x－y－1＝0y＝5

即P(2,5). 324(2)C关于l的对称点C′(，)，

55由图象可知：|PA|＋|PC|≥|AC′|. 1126当P是AC′与l的交点P(，)时“＝”成立，

771126∴P(，). 77