3.1.1 空间向量及其加减运算PPT及专用教学设计内容

3.1.1空间向量及其加减运算

一、教学目标：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 教学重点：空间向量的加减运算及运算律．

教学难点：由平面向量类比学习空间向量．

教学过程：

一、复习回顾: 在必修4中，我们已经学***面向量，你还知道下列几个问题是怎么定义的吗？

(1)什么叫向量？

(2)什么是向量的长度(或模)? (3)什么叫零向量、单位向量、相反向量、相等向量？

(4)向量的表示方法有哪些？

思考: 在空间中，上述问题又是如何定义的呢？

二、新课讲解

1．空间向量

定义

在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量

长度

表示法

向量的大小叫做向量的长度或模

几何表示法

空间向量用有向线段表示

字母表示法

用一个字母表示，如图，此向量的起点是A，终点是B，→→可记作a，也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.

2.几类特殊向量

(1)零向量： 的向量叫做零向量，记为0. (2)单位向量： 的向量称为单位向量．

(3)相等向量：方向 且模 的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．

(4)相反向量：与向量a长度 而方向 的向量，称为a的相反向量，记为－a.

3．空间向量的加减法与运算律

空间向量的加减法

类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：

→→→ OB＝OA＋AB＝ ；

→→→CA＝OA－OC＝ . (1)交换律：a＋b＝ ；

(2)结合律：(a＋b)＋c＝ . 加法运算律

自主练习

→→→→1.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中， AB＝a， AD＝b，AA1＝c，则D1B等于(C) A．a＋b－c

B．a＋b＋c C．a－b－c

D．－a＋b＋c →→→→解析：

D1B＝D1D＋DA＋AB＝－c－b＋a. 2．在平面向量中，下列说法正确的是(D) A．如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等

B．如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同

C．如果两个向量平行并且它们的模相等，那么这两个向量相等

D．同向且等长的有向线段表示同一向量

解析：

根据两个向量相等的定义可知，选项D正确．

3．如图所示，a，b是两个空间向量，且面ABC∥面A′B′C′，AA′＝BB′＝→→→→CC′，则AC与A′C′是相等向量， AB与B′A′是相反向量．

4. 如图所示，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，化简下列表达式．

→→→→→(1)AB＋BB′－D′A′＋D′D－BC；

→→→→(2)AC′－AC＋AD－AA′

→→→→→→→→→→解析：

(1)AB＋BB′－D′A′＋D′D－BC＝AB＋BB′＋A′D′＋D′D－BC

→→→→→→＝AB＋(BB′＋D′D)＋(A′D′－BC)＝AB. →→→→→→→→→(2)AC′－AC＋AD－AA′＝CC′＋A′D＝DD′＋A′D＝A′D′

三、例题讲解

例1、给出下列命题：

①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；

②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；

→→③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC＝A1C1；

④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；

⑤空间中任意两个单位向量必相等．

其中不正确的命题的个数是(C) A．1

B．2 C．3

D．4 变式训练

1.下列说法中正确的是(B) A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反

B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律

→→→D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC

例2、如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量表达式：

→→(1)AA1－CB；

→→→(2)AB1＋B1C1＋C1D1；

1→1→1→(3) AD＋ AB－A1A. 222→→→→→→→[解题过程] (1)AA1－CB＝AA1＋BC＝AA1＋A1D1＝AD1. →→→→(2)AB1＋B1C1＋C1D1＝AD1. (3)设M是线段AC1的中点，

1→1→1→1→1→1→则AD＋AB－A1A＝AD＋AB＋AA1

2222221→→→1→＝(AD＋AB＋AA1)＝AC1. 22变式训练

→→→2.已知空间四边形ABCD，点M、N分别是边AB、CD的中点，化简AC＋AD－AB

解析：

如图所示，因为点M、N分别是边AB、CD的中点，

→→→→→→所以AC＋AD－AB＝2AN－2AM＝2MN. 布置作业

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