1.1.3 四种命题间的相互关系名师教学设计2

高中二年级（上）数学选修2-1 第一章：常用逻辑用语——1.1：命题及其关系

一：知识点讲解

（一）：命题的概念



定义：用语言、符号或式子表达的，可以

的陈述句，叫做命题。



分类：



真命题：判断为真的语句。



假命题：判断为假的语句。



结构：数学中，所有命题都可以写成“

”的形式，其中

是条件，

是结论。

（二）：四种命题的相互关系



四种命题的构成形式：



原命题：若p，则q；



逆命题：若q，则p（交换原命题的条件和结论）；



否命题：若非p，则非q（同时否定原命题的条件和结论）；



逆否命题：若非q，则非p（同时否定原命题的条件和结论后，再交换）；



四种命题的相互关系：



注意：



两个命题互为逆否命题，它们有

的真假性；



两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性

。

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例1：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。

1)

(

)“这棵树真大啊！”是命题。

2)

(

)“x2x10”是命题。

3)

(

)“若24，则tan1”的逆命题是真命题。

4)

(

)“对顶角相等”的逆否命题是真命题。

5)

(

)命题“若a0，则a10”的否命题是“若a0，则a10”。

6)

(

)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4。

（三）：命题的定义与真假判断



对命题定义的理解：



一般地，只有陈述句才能是命题，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。



命题要能判断其真假，它要么是真的，要么是假的，无法判断真假的语句不是命题。目前不能判断真假，但随着科学技术的发展总能确定真假的，如“人可以以光速在宇宙中旅行”，这类猜想也算作命题。



命题真假的判断：



数学中的定义、公理、定理、性质、公式等都是真命题。



判断一个命题为真，需要经过证明；判断一个命题为假，只需举出一个反例即可。

例2：判断下列语句是不是命题，若是，判断其真假，并说明理由。

1)

一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列。

2)

求证：xR时，方程xx20无实根。

3)

垂直于同一直线的两条直线平行吗？

4)

当x3时，3x80。

2（四）：命题的结构



在数学中，常将命题写成“若p，则q”的形式，其中p是命题的条件，q是命题的结论。

例3：将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假。

1)

实数的平方是非负数；

2)

当a1时，方程ax2x10有两个不等实根；

3)

在圆中，弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧。

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2

（五）：四种命题及其关系



理解四种命题时，需要注意以下几点：



把命题称为逆命题、否命题、逆否命题都是以原命题为基础的，当然，我们可以把任何一个命题看作原命题。



写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题时，首先要找出条件和结论，但要注意当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提始终不变。对于由多个并列条件组成的命题，在写出其他三种命题时，应把其中一个（或几个）条件作为大前提。



互为逆否的两命题同真同假，因此在判断始终四种命题的真假时，只需判断两个。在证明问题时，若原命题证明较困难，可考虑证明它的逆否命题。这样也可达到证明原命题的目的。

22例4：命题“若ab0，则a0且b0”的逆否命题是(

) A. 若a2b20，则a0且b0

B. 若a2b20，则a0或b0

C. 若a0且b0，则a2b20

D. 若a0或b0，则a2b20

例5：原命题为“若anan1an，nN*，则an为递减数列”，关于其逆命题、否命2题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(

) A. 真，真，真

C. 真，真，假

B. 假，假，真

D. 假，假，假

二：方法探究

方法一：命题真假的判断

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例1：下列命题：①mx2x10是一元二次方程；②抛物线yax22x1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集。其中真命题有(

) A. 1个



习题

1.

设实数a、b、t满足a1sinbt。(

) 思路分析：特殊值t1→求a、b

B. 2个

C. 3个

D. 4个

2A. 若t确定，则b2唯一确定

B. 若t确定，则a22a唯一确定

C. 若t确定，则sinb唯一确定

2D. 若t确定，则a2a唯一确定

2.

下列四个命题：

①

函数fx在x0时是增函数，x0时也是增函数，所以fx是增函数；

22②

若函数fxaxbx2的图象与x轴没有交点，则b8a0且a0；

③

yx2x3的递增区间为1，；

2④

y1x和yx12表示相等函数。

其中正确命题的个数是(

) 思路分析：明确条件、结论，结合所学知识逐一判断。

A. 0

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B. 1 C. 2 D. 3

方法二：四种命题间的相互关系



四种命题形式上的关系：已知原命题，写成“若p，则q”的形式，按定义可写出逆命题、否命题、逆否命题。



四种命题真假的关系：互为逆否的两命题等价，此两命题只要判断一个即可。

例2：有下列四个命题：

①

“若xy0，则x、y互为相反数”的逆命题；

②

“全等三角形的面积相等”的否命题；

③

“若q1，则x22xq0有实根”的逆命题；

④

“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题。

其中真命题的序号是(

) A. ①②



习题

3.

设mR，命题“若m0，则方程xxm0有实根”的逆否命题是(

) 思路分析：否定条件作结论→否定结论作条件→写出逆否命题

2B. ②③

C. ①③

D. ③④

A. 若方程x2xm0有实根，则m0

B. 若方程x2xm0有实根，则m0

C. 若方程x2xm0没有实根，则m0

D. 若方程x2xm0没有实根，则m0

4.

命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(

) A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 5.

能够说明“设a、b、c是任意实数。若abc，则abc”是假命题的一组整数a、b、c的值依次为

。

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三：题型分析

题型一：命题及其真假判断

1.

下列语句是命题的是(

) A. 2018是一个大数

B. 若两直线平行，则这两条直线没有公共点

C. 对数函数是增函数吗？

D. a2018

2.

下列命题中真命题的个数是(

) ①2是质数；②323；③tan4tan65B. 2 D. 4 ；④指数函数是单调函数。

A. 1 C. 3 3.

给出下列命题：

sin2xsinx①

函数fx是奇函数；

sinx1②

函数fx1既是奇函数又是偶函数；

x1③

函数y与ylog3x的图象关于直线yx对称；

3④

若yfx是定义在R上的函数，则yf1x与yf1x的图象关于y轴对称。

其中正确命题的个数为(

) A. 1 C. 3

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B. 2 D. 4

题型二：命题的结构

4.

命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是(

) A. 两个平面

B. 一条直线

C. 垂直

D. 两个平面垂直于同一条直线

5.

指出下列命题中的条件和结论，并判断命题的真假。

1)

如果a、b、c成等差数列，那么2bac；

2)

等底等高的两个三角形是全等三角形。

题型三：四种命题及其关系

6.

若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的(

A. 逆命题

B. 逆否命题

C. 否命题

D. 以上判断都不对

7.

下列命题的逆命题为真命题的是(

) A. 若x2，则x2x10

B. 若x2y24，则xy2

C. 若xy2，则xy1

D. 若ab，则ac2bc2

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)

8.

下列命题中为真命题的是(

) A. 命题“若x1，则x21”的否命题

B. 命题“若xy，则xy”的逆命题

C. 命题“若x1，则x2x20”的否命题

D. 命题“若11，则x1”的逆否命题

x1。

429.

已知p、q为实数，若方程x2pxq0没有实数根，则pq1)

判断上述命题的真假，并说明理由；

2)

试写出上述命题的逆命题，判断其真假，并说明理由。

易错点一：

10.

将命题“已知a、b为正数，当ab时，有a2b2”写成“若p，则q”的形式，并指出条件和结论。

易错点二：

11.

命题“若a、b都是奇数，则ab是偶数”的否命题是(

) A. 若a、b都不是奇数，则ab是偶数

B. 若a、b都是奇数，则ab不是偶数

C. 若a、b都不是奇数，则ab不是偶数

D. 若a、b不都是奇数，则ab不是偶数

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四：习题

（一）：选择题

1.

命题“若ab，则acbc”的逆命题是(

) A. 若ab，则acbc

C. 若acbc，则ab

2.

下列说法不正确的是(

) A. 命题“若ab，则acbc”是真命题

B. 命题“若a2b20，则a、b全为0”是真命题

C. 命题“若a0，则ab0”的否命题是“若a0，则ab0”

D. 命题“若a0，则ab0”的逆否命题是“若ab0，则a0”

B. 若acbc，则ab

D. 若ab，则acbc

（二）：填空题

3.

能够使“设x是实数，若x1，则x4.

下列四个命题：

①

命题“若a0，则ab0”的否命题是“若a0，则ab0”；

②

“若q1，则x2xq0有实根”的逆否命题；

③

对于直线l1：axbyp0，l2：mxnyq0，若anbm，则l1∥l2，其否命题；

④

命题“若0a1，则logaa1loga1213”是假命题的一个实数x的值为

。

x11”是真命题。

a其中正确命题的序号是

。（把所有正确命题的序号都填上）

5.

已知fxx2xm，若“f10”是假命题，“f20”是真命题，则实数2m的取值范围为

。

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（三）：解答题

6.

写出命题“若xy5，则x3且y2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

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