1.4.3 含有一个量词的命题的否定优质教案设计

1.4.3含有一个量词的命题的否定

三维教学目标：

知识与能力:通过探究数学中一些实例,使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．

过程与方法：通过利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律,正确地对含有一个量词的命题进行否定．使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力; 情感态度和价值观:通过学生的举例,培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质,在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育; 教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；

教学难点：隐蔽性否定命题的确定；

课 型：新授课

教学手段：多媒体

教学过程：

一、创设情境

1.明确命题的构成

我们现在所涉及的命题一般由四部分组成:一是被判断对象;二是被判断对象的结果(或性质);三是修饰被判断对象的量词,分为两类:一类是全称量词,一般常用“一切”、“所有”、“每一个”、“任意一个”等词语表达,另一类是特称量词,一般常用“有些”、“存在”、“至少有一个”等词语表达;四是“判断词”,是联系被判断对象与结果(或性质)的肯定词或否定词,肯定词常用“是”、“有”等表示,否定词常用“不是”、“没有”等表示．如命题“至少有一个质数不是奇数”中,“质数”为被判断对象,“奇数”为结果(或性质),“至少有一个”为量词,“不是”为否定词．

2.全称命题与特称命题

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语,在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与特称命题.在全称命题与特称命题的逻辑关系中,判断,但它们的否定形式是我们困惑的症结所在. pq,pq都容易二、活动尝试

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数；

2（3）xR，x-2x+1≥0 分析:已知命题都是全称命题,即具有形式“xM,p(x).”

命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”,也就是说,存在一个矩形不是平行四

边形; 命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”,也就是说,存在一个素数不是奇数; 22xR,x2x010; xR,x2x1000命题(3)的否定是“并非”,也就是说,这些命题和它们的否定在形式上有什么变化? （1）xM,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；xM,p(x)

（2）xM,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；xM,p(x)

2（3）xM,p(x)，否定：xR，x-2x+1<0；xM,p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 三、师生探究

问题2:指出下列命题的形式,写出下列命题的否定. 2xR,x2x010; 00P（1）: （2）P：有的三角形是等边三角形；

（3）P:存在一个四边形,它的对角线互相垂直且平分；

分析:已知命题都是特称命题,即具有形式“x0M,p(x0).”

2xR,x20x1000其中命题（1）的否定是“并非”,也就是2xR,x2x010; 00说,命题（2）的否定是“没有三角形是等边三角形”,也就是说,每一个三角形都不是等边三角形; 命题（3）的否定是“没有一个四边形,它的对角线互相垂直且平分”, 也就是说,所有四边形,它的对角线互相垂直且平分; 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化? 结论:从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变成了全称命题. 四、数学结论

1.全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题P： xM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x∈M,使P（x）不成立。存在性命题P：xM，使P（x）成立；其否定命题┓P为：

xM,有P（x）不成立。

用符号语言表示：

P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x）

P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x）

在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定. 2.关键量词的否定

词语

词语的否定

词语

是

一定是

都是

大于

小于

且

不是

一定不是

不都是

至多有一个

小于或等于

大于或等于

所有x不成立

或

必有一个

至少有n个

所有x成立

词语的否一个也没至多有n-1至少有两存在一个x不存在有一个定

有

个

个

成立

成立

五、巩固运用

例1 写出下列全称命题的否定：

（1）p：所有人都晨练；

2（2）p：xR，x＋x+1>0；

（3）p：平行四边形的对边相等；

2（4）p：

x∈R，x－x+1＝0；

2分析：（1） P：有的人不晨练；（2）

x∈R，x＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的2对边不相等；（4）xR，x－x+1≠0；

例2

写出下列命题的否定。

（1）

所有自然数的平方是正数。 （2）

任何实数x都是方程5x-12=0的根。 （3）

对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0. （4）

有些质数是奇数。 解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。 （2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。 （3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。 （4）的否定：所有的质数都不是奇数。 2解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。 例3

写出下列命题的否定。 2（1）

若x＞4 则x＞2.。 2（2）

若m≥0,则x+x-m=0有实数根。 （3）

可以被5整除的整数，末位是0。 （4）

被8整除的数能被4整除。 （5）

若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。 2解（1）否定：存在实数x0，虽然满足x0＞4，但x0≤2。或者说：存在小于或等于2的数x0，2满足x0＞4。（完整表达为对任意的实数x, 若x＞4 则x＞2）

22（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个x0，使x0+ x0-m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x+x-m=0有实数根。）

2

（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。

（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除) （5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）

例4

写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。

（1）p：若x＞y,则5x＞5y；

22（2）p：若x+x﹤2,则x-x﹤2；

（3）p：正方形的四条边相等；

22（4）p：已知a,b为实数，若x+ax+b≤0有非空实解集，则a-4b≥0。

解：（1） P：若 x＞y，则5x≤5y；

假命题

否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题

22（2） P：若x+x﹤2，则x-x≥2；真命题

22

否命题：若x+x≥2，则x-x≥2）；假命题。

（3）

P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。

2（4）

P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a-4b﹤0。假命题。

2

否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a-4b﹤0。真命题。

评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：

1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。

3．

原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则q”；而它的否命题为

“若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。

六、课堂小结: 1.如何写出含有一个量词的命题的否定,原先的命题与它的否定在形式上有什么变化? 全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题. 2.一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论: xM,p(x0). 全称命题P:xM,p(x)它的否定命题P为: 0特称命题P:x0M,p(x0);它的否定命题P为:xM,p(x). 全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.否定时既要否定量词,又要否定性质,所以找出量词,明确命题所提供的性质是解题的关键. 七、布置作业:

1.阅读课本24—25页;

2．必做题:写出下列命题的否定: （1）若m0则方程x2xm=0有实数根．

2

（2）平方和为0的两个实数都为0．

（3）若ABC是锐角三角形, 则ABC的任何一个内角是锐角．

（4）若abc=0,则a,b,c中至少有一为0．

（5）若x1x20 ,则x1,x2．

2解

（1）P:若m0则方程x2xm=0没有实数根. （2）P:平方和为0的两个实数不都为0. （3）P:若ABC是锐角三角形, 则ABC的任何一个内角都不是锐角. （4）P:若abc=0,则a,b,c中没有一个为0. （5）P:若x1x20 ,则x1或x2. 3．选做题:写出下列命题的否定,并判断真假. （1）每条直线在y轴上都有截距. （2）每个二次函数的图像都与x轴相交. （3）存在一个三角形,它的内角和小于180.

（4）存在一个四边形没有外接圆. 解

（1）P:存在一条直线,它在y轴上没有截距; 真命题

（2）P:存在一个二次函数,它的图像与x轴不相交; 真命题

（3）P:每一个三角形的内角和不小于180;

真命题

（4）P:每一个四边形都有外接圆; 假命题

【设计意图】设计作业必做题1,2,是引导学生先复习再作业,培养学生良好的学习习惯．书面作业的布置,是为了让学生掌握含有量词的命题的否定怎么去写;选做题的安排,是让学生进一步熟悉含有量词的命题的否定形式,以及如何去判断真假,巩固所学知识. 八、教后反思: 1.如何写出含有一个量词的命题的否定,原先的命题与它的否定在形式上有什么变化?引导学生进行归纳总结,反思本节的知识要点:全称命题的否定为特称命题,特称命题的否定为全称命题. 2.本节课的亮点是帮助学生将所学新知尽快融入知识系统,让学生全程参与建构概念,通过较为愉悦的课堂环境,使学生保持浓厚的学习兴趣,而且利用多媒体及学案辅助教学,使学生思维活动得以充分展开,从而优化了教学过程,大大提高了课堂教学效率．

3.本节课的不足之处是由于给学生留下了较多的思考时间,课堂节奏有点紧,在教学中,

务必理清各类型命题形式结构、性质关系,才能真正准确地完整地表达出命题的否定,才能避犯逻辑性错误,才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上,达到培养和发展学生的逻辑思维能力. 九、板书设计: 1．4．3

含有一个量词的命题的否定

一

引入新课: 命题的构成

全称命题与特称命题

二、探究新知

全称命题、特称命题的否定．

全称命题P:xM,p(x); 它的否定命题Px0M,p(x0)

特称命题P:x0M,p(x0)

2.掌握常见的关键词(量词与判断词)的否定形式

三、运用新知

例1

例2

: 例3

例4

四、当堂检测

五、课下作业

六、课堂小结

它的否定命题P:xM,p(x)

