2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学设计(第一课时)

高一数学平面与平面的位置关系教案第一课时

教学目标：

一．知识与技能

1．

理解并掌握两个平面平行、两个平面相交的定义。

2．

会画平行或相交平面的空间图形，并用字母或符号表示，进一步培养学生的空间想象能力。

3．

掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，并能运用其解决一些具体问题。

二．过程与方法

1．

通过师生之间、学生与学生之间的相互交流，使学生学会与别人共同学习。

2．

通过直观感知、探究空间两个平面的位置关系以及平面与平面平行的定义，明确数学概念的严谨性和科学性，培养学生数学地分析问题的意识。

3．

通过探究、思考、反思完善，进一步培养学生空间想象能力、理性思维能力。

三．情感态度与价值观

1．

通过对平面与平面的位置关系的概念的学习，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律和认识，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神。

2．

在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对平面与平面的性质定理和判定定理的理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。

3．

通过组织学生认识研究两个平面的位置关系以及应用两个平面平行的判定是实际生产的需要，体现了理论联系实际的原则，更好地培养学生分析问题与解决业问题的能力。

教学重点：

两个平面的位置关系，两个平面平行的判定和性质。

教学难点：

判定定理、例题的证明，性质定理的正确运用。

教学过程：

1．复习回顾：

师生共同复习回顾，线面垂直定义，判定定理. 性质定理 归纳小结线面距离问题求解方法，以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题. 立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题，二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会. 下面继续研究面面位置关系. 2．讲授新课：

1.两个平面的位置关系

除教材上例子外，我们以所在教室为例，观察面与面之间关系. ［师］观察教室前后两个面，左、右两个面及上下两个面都是平行的，而其相邻两个面是相交的. - 1 -

［师］打开教材一个是竖直放在桌上，其间有许多个面，它们共同点是都经过一条直线. 观察教室的门与其所在墙面关系，随着门的开启，门所在面与墙面始终有一条公共线. 结合生观察教室的结论、引导其寻找平面公共点，然后给出定义. 定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行. 如果两个平面有公共点，它们相交于一条公共直线. 两个平面的位置关系只有两种：

（1）两个平面平行——没有公共点；

（2）两个平面相交——有一条公共直线. ［师］两个平面平行，如平面α和平面β平行，记作α∥β

2.两个平面平行的判定

判定两个平面平行可依定义，看它们的公共点如何. ［师］由两个平面平行的定义可知：其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行.这是因为在这些直线中，如果有一条直线和另一平面有公共点，这点也必是这两个平面的公共点，那么这两个平面就不可能平行了. 另一方面，若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行，否则，这两个平面有公共点，那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面. 由此将判定两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，但事实上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一平面，到底要多少条直线（且直线与直线应具备什么位置关系）与另一面平行，才能判定两个平面平行呢？

下面我们共同学习定理. 两个平面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. ［师］以上是两个平面平行的文字语言，另外定理的符号语言为：

若aα，bα，a∩b=A,且a∥α,b∥β，则α∥β. 利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：

①有两条直线平行于另一个平面，

②这两条直线必须相交. . ［生］在判断一个平面是否水平时，把水准器在这个平面内交叉地放两次，如果水准器的气泡都是居中的，就可以判定这个平面和水平面平行，实质上正是利用了面面平行的判定定理. 例1：求证：垂直于同一直线的两个平面平行

已知：α⊥AA′,β⊥AA′

求证：α∥β. - 2 -

分析：要证两个平面平行，需设法证明一面内有两相交线

与另一面平行，那么由题如何找出这两条线成为关键. 如果这样的线能找到问题也就解决啦. 诱导学生思考怎样找线. ［生］通过作图完成找线，利用转化解决问题、证明如下：

证明：设经过AA′的两个平面γ、θ分别与平面α、β相交于直线a、a′和b、b′

∵AA′⊥α，AA′⊥β

∴AA′⊥a,AA′⊥a′

又aγ,a′γ ∴a∥a′, 于是a′∥a

同理可证b′∥a 又a′∩b′=A′ ∴α∥β. ［师］这是一个重要的结论，主要用来判断空间的直线与平面具备条件：两个平面垂直于同一直线，则应有：这两个平面平行.用符号语言就可以表示为：

l⊥α，l⊥βα∥β. 此题也告诉我们，空间的两个平面平行，其判定方法：1°定义.2°判定定理.3°例1结论. ［师］请同学思考：两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一面具有什么关系？

［生］通过作图可以发现，若平面α和平面β平行，则两面无公共点，那么也就意味着平面α内任一直线a和平面β也无公共点，即直线a和平面β平行. 用式子可表示为：α∥β，aαa∥β

用语言表述就是：

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. ［师］归纳总结. 此结论在以后的解决问题过程中可直接运用，既是面面平行的性质定理，又是线面平行的判定定理. ［师］如图，设α∥β，α∩γ＝a,β∩γ＝b，我们研究两条交线a、b的位置关系. ［生］观察、分析可发现

因为α∥β，所以a、b没有公共点，

而a、b又同在平面γ内，于是有a∥b

［师］下面给出两个平面平行的性质定理. 两个平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 已知：α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b

求证：a∥b. 分析：师生共同活动

通过前面的学习，我们知道判定两线平行的途径有：

（1）利用定义：在同一平面内没有公共点的两条直线平行. （2）运用公理：证明这两直线平行于同一直线. （3）依据性质定理：线面平行的性质定理，如果一条直线平行于一个平面、经过这- 3 -

条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线和交线平行，线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条直线平行. 而题目中证明a∥b，a、b又同在平面γ内，且分别在两个平行平面内，因此本题的证明可利用方法（1）. 证明：∵平面α∥平面β

∴平面α和平面β没有公共点

又aα，bβ

∴直线a、b没有公共点

又∵α∩γ＝a，β∩γ＝b

∴aγ，bγ

∴a∥b. ［师］同学们接下来研究两个平行平面内的所有直线是否都平行. 已知两个平面平行，依据性质定理：

一个平面内的任何直线都平行另一平面. 依据性质定理：若有第三个平面和两个平行平面相交，那么它们的交线平行，但是，能不能说两个平行平面内的所有直线都是互相平行的呢？如上图，α∥β，aα，bβ，可以看出：只有当a、b确定平面时，依据性质定理，a与b才平行，否则就不平行，直线a与b能相交吗？

［生］不能.这是因为，若a∩b=A ∵aα, ∴A∈α

又bβ，∴A∈β ∴α与β必相交

因此a、b不可能相交. 由此在两个平行平面内的直线，它们可能是平行直线，也可能是异面直线. 师引导学生得出结论：两个平行平面的判定定理与性质定理的作用，要害都集中在“平行”二字上，判定定理解决的问题是；在什么样的条件下两个平面平行，性质定理说明的问题是；在什么样的条件下两条直线平行，前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法. ［师］下面以例题说明性质定理在解决问题时作用. 例2：求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 已知:α∥β，l⊥α，l∩α＝A 求证：l⊥β. ［设法创造条件，找到平面γ，使之与平面α和平面β相交，使之可利用性质定理解决问题.］

证明：在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面，设γ∩α＝a

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因为b是平面α内任意一条直线，所以根据直线与平面垂直的定义，可知l⊥β. ［师］上述例2所证明的命题用符号表示就是α∥β,l⊥αl⊥β. 用转化的思想可解释为

这是一个关于两个平面平行的性质的一个命题，可以用来判断直线与平面垂直. 4.两个平行平面的距离

［师］由线面距离，进一步研究面面距离，请同学归纳表述. ［生］（1）两个平行平面的公垂线、公垂线段的定义：

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段. α∥β

如果AA′,BB′都是它们的公垂线段

那么AA′∥ΒΒ′

依两个平面平行的性质定理

有A′B′∥AB

那么四边形ABB′A′是平行四边形，AA′＝BB′

由此我们得到，两个平面平行，这两个平面的公垂线段都相等. （2）两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离. 3．课堂练习：

课本P41练习1，2，3，4 4．课时小结：

本节课主要研究如何证明两个平面平行？其途径可以选择从公共点的角度考虑.但要说明两面没有公共点，是比较困难的，而要用定理判定的话，关键是线应具备“相交”“平行”要求.例1也可作为结论直接运用；两个平面平行，即面面平行，可得，其中一面内的线平行于另一个平面，即线面平行；两个平面平行，即面面平行，可得，两个平面与第三平面相交，交线平行，即线线平行；求面与面距离可转化为线面距离，进而转化为点面距离。

5．课后作业：

课本P47 习题1、2、3、4、5.

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