1.2.1 充要条件教学目标

教学要求：进一步理解并掌握充分条件，必要条件，充要条件的概念，掌握判断命题的条件的充要性的方法，培养学生

不能简单的逻辑推理的思维能力。

教学重点：理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断。

教学难点：命题条件的充要性判断。

教学过程：

一、复习

一般地，如果已知

的必要条件

练习：

，那么我们就说

是

成立的充分条件，q是p①“

”是“

”的 充分非必要 条件．

②若a，b都是实数，从①ab>0;②a+b>0,③ab=0;④a+b=0;⑤a2b20;⑥a2b20中选出使

a,b都不为0的充分条件的是 ①②⑤

.

③“

且

为真”是“

或

为真”的（ A

）

（A）充分不必要条件． （B）必要不充分条件．

（C）充要条件． （D）既不充分又不必要条件．

二、例题分析

条件充要性的判定结果有四种，判定的方法也很多，但针对各种具体情况，应采取不同的策略，灵活判断．

下面我们

来看几个充要性的判断及其证明的例题

1、要注意转换命题判定，培养思维的灵活性

例1、已知p:x+y≠－2；q:x、y不都是－1，p是q的什么条件？

分析：要考虑p是q的什么条件，就是判断“若p则q”及“若q则p”的真假性

从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性

“若p则q”的逆否命题是“若x、y都是－1，则x+y＝－2”真的

“若q则p”的逆否命题是“若x+y＝－2，则x、y都是－1”假的

故p是q的充分非必要条件

注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手。

练习、已知p：│3x－4│>2;q:1>0，则

x2x2是

的什么条件？

分析：首先p：x>2或x<2/3

q:x>2或x<-1

方法一、┐p：2/3≤x≤2

┐q：－1≤x≤2

显然┐p是┐q的充分非必要条件

方法二、要考虑┐p是┐q的什么条件，就是判断“若┐p则┐q”及“若┐q则┐p”的真假性

“若┐p则┐q”等价于“若q则p”真的

“若┐q则┐p”等价于“若p则q”假的

故┐p是┐q的充分非必要条件

2、要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性

例2、若

是

的充分不必要条件，

是

的充要条件，

是

的必要不充分条

件，则

是

的什么条件

分析：命题的充分必要性具有传递性

MNPQ

显然M是Q的充分非必要条件

3、充要性的求解是一种等价的转化

例3、求关于

的一元二次不等式ax2+1>ax于一切实数

都成立的充要条件

分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化

由题可知等价于

a=0

或

a≠0

a>0

△<0

a=0或0

0≤a<4

4、充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么

例4、证明：对于x，y∈R，xy=0是x2+y2＝0的必要不充分条件

分析：要证明必要非充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是非充分条件

必要性：对于x，y∈R，如果x2+y2＝0

则x=0,y=0

即xy=0

故xy=0是x2+y2＝0的必要条件

非必要性：对于x，y∈R，如果xy=0,

比如x=0,以＝1,此时x2+y2≠0

故xy=0是x2+y2＝0的不充分条件

综上所述：对于x，y∈R，xy=0是x2+y2＝0的必要不充分条件

例5、求证：二次方程ax2+bx+c=0有两个异号实数根的充要条件是a与c异号。

分析：要证明充要性，必须要证明两个方面——充分性和必要性。

这里的条件是“a与c异号”（记为p），结论是“二次方程ax2+bx+c=0有两个异号实数根”（记为q）。证明充分性就是证明“pq”，证明必要性就是证明“qp”

证充分性：

若a与c异号，则ac<0

于是-4ac>0

b2-4ac>0

故方程有两个相异的实根

又根据根与系数的关系及ac<0,知x1*x2=c/a <0

故原方程有两个相异号实数根

证必要性：

若方程有两个实数根异号，则x1*x2<0,即c/a<0

,故a与c异号

综上所述：二次方程ax2+bx+c=0有两个异号实数根的充要条件是a与c异号。

思考题：已知

：

；

：

而不充分条件，求实数

的取值范围．

．若

是

的必要

解：由于┐p是┐q的必要不充分条件，则p是q的充分非必要条件

于是可知

1－m≤－2

10≤1+m

得到m≥9

三、作业：试卷