3.1.3 空间向量的数量积运算ppt配用优秀获奖教案

人教A版选修2-1

《空间向量的数量积》教学设计

四川省南部中学

郭华琼

［教学内容解析］

1.空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角.空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具.本节课是空间向量教学的第二节课，在本章的教学中有着十分重要的承接作用，一方面，是将向量工具在空间背景下的进一步拓展和推广，另一方面，本节课仍是从向量角度即形的角度进行教学，却为后续的空间向量基本定理与之后从数的角度来学习空间向量打下了基础. 2.目标定位：掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；

3.目标解析：空间向量的数量积：已知空间两个向量a与b，|a||b|cos＜a、b＞叫做向量a、b的数量积，记作a·b，

即

a·b＝|a||b|cos＜a,b＞. 空间数量积的性质：

⑴a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞；

⑵a⊥ba·b＝０

⑶当a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜；

当a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜.特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝aaa2.

⑷cos＜a,b＞＝［学生学情分析］

1.知识储备

学生在必修四中就已经学***面向量及其运算，空间向量的学习是为引导学生实现对向量本质的认识，从而实现从平面到空间的突破. 2.心理储备

学生在学习了空间向量与其加减法后，与之前相比，对向量的认识有了很大的提升，也会使得学生产生能否进一步将平面向量的其他的运算在空间向量中类比推广的困惑，正是这种心理上的困惑和需求，这节课的学习将更能让学生对数学知识的发展与联系有足够的认识，以及对知识的探求有更大的欲望.

一．本节知识结构：

abab;

⑸｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜.

空间向量及其基本概念

线性运算

数量积

实际背景

基本定理

简单运用

坐标表示

二．教学重点与难点：

1.重点：空间向量的概念及其运算，空间向量基本定理。

2.难点：空间向量基本定理。

三．教学策略分析

课堂设计以点的数目为隐藏主线，以问题链的方式，通过问题引导学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，使得学生在平面向量及其运算基础上，自主探究空间向量的数量积运算的生成过程及应用，从而能更加深入的理解向量的本质与在空间中的适用性，实现了在探索中发现数学本质，体会数学建构的乐趣. 四．教学支持条件

尺规、多媒体

五．教学过程

（一）、回顾旧知，类比迁移

复***面向量数量积定义？

（平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.）

（二）、问题诊断

学生在学习中已经学***面向量的数量积，可能会形成对新知识的干扰，教学中要注意新旧知识的联系与区别。

问题：空间向量的数量积与平面向量数量积的异同？空间向

量的数量积应注意哪些知识点？

问题1：两个向量的夹角如何定义？

来源学&科&网

解析：已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，

记作＜a,b＞．

说明：⑴规定：0＜a，b＞．＜a、b＞＝０时，a与b同向；

当＜a、b＞＝π时，a与b反向；

当＜a、b＞＝时，称a与b垂直，记a⊥b．

2⑵

两个向量的夹角唯一确定且＜a,b＞＝＜b,a＞．

⑶

注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．

②＜a,b＞(a,b) 问题2：怎样定义两个向量的数量积？

解析：已知空间两个向量a与b，|a||b|cos＜a、b＞叫做向量a、b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos＜a,b＞. 说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝０；

⑵符号“·

”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. 问题3：空间向量的数量积几何意义的理解？

解析：已知向量AB＝a和直线l，e是l上和l同方向的单位向量．作点A在l上的射影A′，点B在l上的射影′，则A'B'叫做向量简称射影．可以证明：A'B'AB在轴l上或在e方向上的正射影，＝｜AB｜cos＜a,e＞＝a·e．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a·e的几何意义．

问题4：空间数量积的性质？

解析：空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：

⑴a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞；

⑵a⊥ba·b＝０

⑶当a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜；

当a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜.特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝aaa2.

⑷cos＜a,b＞＝abab;

⑸｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜. 问题5：

空间向量数量积的有哪些运算律？

解析：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：

⑴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) (数乘结合律)；

⑵

a·b＝b·a (交换律)；

⑶a·(b＋c)＝a·b＋a·c (分配律) 说明：

⑴(a·b)c≠a（b·с）；

⑵有如下常用性质：a2＝｜a｜2，(a＋b)2＝a2＋２a·b＋b2

例题：课本P98例2、设计意图：数量积性质、运算律的应用

变式训练：(见课件）

六、课堂小结

1、空间向量a、b的数量积？

2、空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：

⑴a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞；

⑵a⊥ba·b＝０

⑶当a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜；

当a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜.

特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝aaa2.

⑷cos＜a,b＞＝abab;

⑸｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜. 课堂练习：课本92页练习及（课件）

课后作业：

1.课本98页A组第三、四、五题。

2.探究如何用空间向量解决立体几何中的有关证明的问题。