习题2.3优秀教学设计

圆锥曲线离心率的专题

求离心率问题有三种思路，一是求出a,b,c三个量中的任何两个，然后利用离心率的计算公式求解；二是求出a,c或a,b或c,b之间关系，然后利用离心率的计算公式求解；三是构造出关于离心率e的方程来求解.此题中关键是灵活的应用椭圆和双曲线的定义构造出方程即可求解,一般是依据题设寻求一个关于a,b,c的等量关系，再利用a,b,c的关系消去b，得到关于a,c的等式，再转化为关于离心率e的方程，解方程求出e的值，最后根据椭圆或双曲线的离心率的取值范围,给出离心率的值. 考点1.利用题设条件求出a,c的值

x2y221(b0)，过其右焦点F作圆x2y29的两条切线，切点记作C，D,双曲线的右【例1】已知双曲线9b顶点为E,CED1500，其双曲线的离心率为( ) A.23233 B. C.3 D. 2932x2y21交于A,B两点，点F为抛物线的交点，若FAB为正三【变式】已知抛物线y4x的准线与双曲线2a4角形，则双曲线的离心率是 ．

【解析】根据已知条件画出图形（如右图），FAB为正三角形，且抛物线的准线为x1．在RtAKF中，AFK30,KF2,

y2323AKKFtan30,A1,3．又点A在双曲线上，3

32A1231331921，解得a2，又b24，c2a2b2,

a444c19357故双曲线离心率e．

a223考点2.根据题设条件直接列出a,b,c的等量关系

22KO1F2x468B23x2y222【例2】已知双曲线221(a0,b0)的一条渐近线与圆(x3)y9相变于A.B两点，若|AB|2，ab则该双曲线的离心率为（ ）

A.8 B. 22 C 3 D.4

考点3.借助直角三角形的边角关系

x2y23a【例4】【2012全国新课标，理4】设F1F2是椭圆E:221(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一ab2点，F1PF2是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（ ）

(A)12 (B)

(C) 2332(D)

【解析】F1PF2是底角为30的等腰三角形，PF2F2F12(ac)2c，

则ec3

a4x2y2【例5】设F1，F2分别是椭圆221ab0的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若abF1PQ60，PF1PQ，则椭圆的离心率为（ ）

A.23312 B. C. D.

33330【解析】由条件PF1PQ，则PQx轴，而F为等边三角形，而周长为4a，∴

等边三11PQ60，∴FPQ角形的边长为2a4a4a|PF|，焦点在直角三角形PF1F2中，|PF，，|F1F2|2c， ∴|21333c214a22a22222()()(2c)，即a3c，∴e2，

33a3考点4. 借助与其它曲线的关系求离心率

x2y2【例6】点A是抛物线C1:y2px(p0)与双曲线C2:221(a0,b0)的一条渐近线的交点（异于原点），ab2若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（ ）

A．2 B．2 C．5 D．4 b2bp【解析】点A到抛物线C1的准线的距离为p，A,p适合yx，24，e5 aa2x2y2【例7】如图，已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点恰好是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右焦点F，且这两条曲线交点的连线ab2过点F，则该椭圆的离心率为________．

【解析】如图，设F′为椭圆的左焦点，椭圆与抛物线在x轴上方的交点为A，连接AF′，所以|FF′|＝2c ＝p，

因为|AF|＝p，所以|AF′|＝2p.因为|AF′|＋|AF|＝2a，所以2a2－1.

考点5. 利用椭圆或双曲线的定义求离心率

＝2p＋p，所以e＝＝cax2y2【例8】椭圆221(ab0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其左焦点，若AF^BF,设abABFA．6，则该椭圆的离心率为 （ ）

233 B．31 C． D．1

232【解析】取椭圆右焦点M，连接AM,BM，由椭圆对称性以及AF^BF知四边形AFBM为矩形，由ABF得AFc，AM3c，由椭圆定义知AFAM2a，3cc2a，e31. 6x2y2【例9】设F1,F2是双曲线C:221(a0,b0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1PF26a,且PF1F2ab的最小内角为30，则C的离心率为___.

x2y2【例10】 F1，F2是双曲线C:221(ab,b0)的左、右焦点，过左焦点F1的直线l与双曲线C的左、右两ab支分别交于A，B两点，若|AB|:|BF2|:|AF2|3:4:5，则双曲线的离心率是

A．3

B．15

C．2 D．13

（ ）

【解析】画出图形，在ABF2中，根据题意可设AB3t,BF24t,AF25t(t0)，

ABBF2AF2,ABF2为直角三角形．设AF1m，由双曲线的定义知

2223tm4t5tm，∴m3t，

BF1BF2AF2AF1，即 ∴2aAF2AF1F2中，

15t3t2t．在RtBF F1F2BF1BF2(6t)2(4t)2213t，∴e22c13，故选D．

a考点6. 借助双曲线的渐近线求离心率

x2y2【例11】已知双曲线E:221(a0,b0)的两条渐近线分别为l1:y2x,l2:y2x.则双曲线E的离心ab率为_______________. bc2－a2【解析】因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，所以＝2，所以＝2，

aac 故c＝5a，从而双曲线E的离心率e＝＝5. ax2y2310【例12]已知双曲线221的一条渐近线的倾斜角的余弦值为，该双曲线上过一个焦点且垂直于实轴的ab10弦长为23，则双曲线的离心率等于（ ）

3710 D．

33A．10 B．3 C．x2y2101310310【解析】双曲线221的一条渐近线的倾斜角的余弦值为,所以，即e， 故选C. ab3e1010考点7. 利用弦中点坐标，代点相减求离心率

x2y21【例13】过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：221(ab0)相交于A,B，若M是线段AB的中ab2点，则椭圆C的离心率为