习题2.4公开课教案（教学设计）

《抛物线》习题2.4教学设计

河北省唐县第一中学

马平平

一、教材分析

解析几何是通过建立直角坐标系，用代数方法解决集合问题的学科，它主要研究两个问题：已知曲线求方程；已知方程研究曲线性质。椭圆、双曲线、抛物线是三种重要的圆锥曲线，学生对于椭圆和双曲线的性质已经熟悉，研究方法已经掌握熟练，所以本章内容相对较少，被安排在最后，但在高考试卷中也是重点之一。本节的重点是复习抛物线的几何性质，难点是直线与抛物线的位置关系的应用。针对以上，又充分考虑到教学对象是普通高中学生，设计时对教材作适当调整：课前先做双基题目，快速回忆抛物线的定义及方程形式，通过例题1达到会求抛物线的标准方程及准线方程的目的。例题2多数从数形结合角度去掌握抛物线的几何性质。例3是教材练习题，通过延伸拓展改编为定值定点问题，作为高考重点且计算要求较高，所以加上变式3进行巩固训练。

二、教学目标

①使学生掌握抛物线的定义，会用解析几何的坐标法建立抛物线的标准方程，理解标准方程中参数P的几何意义；②能利用数形结合思想解决抛物线几何性质问题；③掌握一般直线与圆锥曲线综合问题解决方法。

三、教学重点、难点

教学重点是掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用。

教学难点在研究直线与抛物线位置关系时，对学生的计算能力要求较高。

四、教学方法

依据新课程理念倡导的“自主、探究、合作、交流”的学习方式，结合本课教材的特点和学生的实际情况。我采用了“启发探究式”的教学方法。在本章学习中，学生已经掌握了各种圆锥曲线标准方程以及直线和圆锥曲线综合问题处理方法，因此完全可以让学生自主学习，互相讨论交流。“探究式”学习方式是一种流行的教学方式，但如何做到“实质性”探究，不流于形式。教师只有提高自身的数学素养，理解数学本质，挖掘“本原性”问题，才能驾驭真正的“探究”。

五、教学过程

知识点一

抛物线方程的四种形式

标准方程

y2＝2px(p>0)

y2＝－2px(p>0)

x2＝2py(p>0)

x2＝－2py(p>0)

图形

范围

对称轴

x≤0，y∈R

x轴

y≥0，x∈R

y轴

y≤0，x∈R

y轴

x≥0，y∈R

x轴

焦点坐标

准线方程

顶点坐标

离心率

通径长

知识点二

直线与抛物线的位置关系

直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于xy＝kx＋b，的方程组解的个数，即方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解y2＝2pxpF(2，0)

px＝－2

pF(－2，0)

px＝2

pF(－2，0)

py＝－2

pF(－2，0)

py＝2

O(0，0)

e＝1

2p

的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 2个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有1个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点.当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点. 试一试

双击题目

基础更牢固

1.准线方程为x=2标准方程为 2.抛物线y2 =8x上到焦点F的距离等于6的点的坐标是 3.抛物线y2 =2px (p>0)上一点M到焦点F的距离为2p,求M点坐标。

探究点一

抛物线的标准方程

例1 抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆＋＝1短轴所在的直49

x2y2

线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及准线方程．

解

∵椭圆＋＝1短轴在x轴上，

49∴抛物线的对称轴为x轴，

设抛物线的标准方程为y2＝2px或y2＝－2px (p>0)，

∴抛物线的方程为y2＝12x或y2＝－12x，准线方程分别为x＝－3和x＝3.

p∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴2＝3，即p＝6，

小结

求抛物线的标准方程要明确四个步骤：

(1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口)；

(2)设方程(根据焦点和开口设出标准方程)；

(3)找关系(根据条件列出关于p的方程)；

(4)得出抛物线的标准方程．

跟踪训练1

求以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准89方程及准线方程．

探究点二

抛物线几何性质

例2 (1)已知点A(－2,1)，y2＝－4x的焦点是F，P是y2＝－4x上的点，为使|PA|＋|PF|取得最小值，则P点的坐标是(

) (2)过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A和B两点它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(

) A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在

x2y2x2y2

(3)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l, P是l上一点，直线PF与抛物线交于M,N两点，PF3MF，则|MN|=( )

探究点三

抛物线中的定值、定点问题

例3.直线y＝x-2抛物线y2＝2px (p>0)相交于A、B为两点，求证

OA⊥OB。

延伸A、B为抛物线y＝2px (p>0)上两点，O为原点，若证直线AB过定点．

证明

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∵OA⊥OB⇒x1x2＋y1y2＝0，

A，B在抛物线上⇒y2221y2＝4px1x2，

∴2y1·y2＝－4px1·x22＝4p

，

l：y－y2pAB1＝y(x－x1)，

1＋y22∴y－y2p1＝yx－y1p

1＋y222py212p4p2∴y＝yy·x－＋y1＝·x－y

1＋2y1＋y2y1＋y2y1＋2＝2py(x－2p)，

1＋y2∴直线AB过定点(2p,0)．

OA⊥OB，求

变式3

如图，过抛物线上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值．

证明

设kAB＝k (k≠0)，

∵直线AB，AC的倾斜角互补

∴kAC＝－k(k≠0)，∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2. 由方程组y＝kx－4＋2，y2＝x，

消去y后，整理得

k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0. ∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解．

16k2·x－16k＋44k2∴4－4k＋1B＝k2，即xB＝k2，

以－k代换x4k2＋4k＋1B中的k，得xC＝k2，

∴kyB－yCkxB－42－[－kxC－BC＝2]x－x＝4BCxB－xC＝kxk8k2＋22－8B＋xC－8k1x＝8k＝－4. B－xC－k2所以直线BC的斜率为定值．

六、课堂小结

1.求抛物线的标准方程要明确四个步骤：

(1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口)；

(2)设方程(根据焦点和开口设出标准方程)；

(3)找关系(根据条件列出关于p的方程)；

(4)得出抛物线的标准方程．

2.在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化．

七、作业设计：

根据实际情况适当选择课堂练习题，以及课本复习题B组题。