3.2.2 直线的两点式方程教学设计与反思

直线方程

教学目标

1．理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．熟练掌握直线方程的点斜式、掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式以及直线方程的一般形式，能够根据条件求出直线的方程．

2．掌握两直线平行与垂直的条件，能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系，会求两条直线的夹角和交点，掌握点到直线的距离公式．

3．突出方程的思想、数形结合的思想、渗透转化的思想、分类讨论的思想．

4．掌握待定系数法，熟练运用于求直线方程之过程．

5．进一步体会解析几何学科的特点．

重点难点

重点之一是研究直线方程的五种形式及相关公式，直线方程的五种形式中除一般形式外，均有需要注意的问题，如：使用截距式要注意是否截距存在且不等于零，否则可能丢解．

重点之二是数形结合的思想，引导学生从不同的层面去认识题目．如：已知直线l1平行l2，这是从图形的位置关系来描述．换一个角度，从数量关系角度来认识，当斜率存在时，它们的斜率k1=k2．

难点在于转化思想的培养．如何将各种条件转化为有用、可用的信息，将解题思路纳入熟悉的轨道，是数学各章节都面临的课题，希望通过本节课在这方面也有积极的努力．

教学过程

平面解析几何重点研究五种曲线：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线．直线是其中最简单的一种．

研究的内容主要是直线的方程、点与直线的位置、直线与直线的位置关系．尽管直线的问题相对简单，但是我们可以通过复习直线的有关问题，进一步体会解析几何是如何运用代数方法来研究几何图形性质的．

各种曲线研究的基础是确定曲线的方程．确定方程的实质是确定方程中未知的系数．根据题目的条件，列出满足条件的等式(即方程)，通过解方程，确定出

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方程中的系数．这个过程中体现的就是方程的思想，具体的操作中使用的是待定系数法．

一、基础知识应用

例1

求满足下列条件的直线方程：

(1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；

(2)经过点Q(-1，3)巨与直线x+2y-1=0垂直；

(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等；

(4)经过点S(1，2)且与圆x2+y2=1相切的直线方程．

分析

各小题有共同特点，所求直线都经过一个已知的定点，求直线方程的实质就是求直线的斜率．

解

(1)设所求直线方程为l：y+1=k(x-2)． (2)设所求直线方程为l：y-3=k(x+1)．

l：y-3=2(x+1)．即2x-y+5=0．

(3)设所求直线方程为l：y-3=k(x+2)．令x=0，y=2k+3；令y=0， (4)设所求直线方程为l：y-2=k(x-1)，即kx-y+2-k=0． 当斜率不存在时，直线x=1也符合题意．

所以l：3x-4y+5=0或x=1．

评述

上述各解法均采用点斜式方程，因为已知条件中所求直线都经过已知点．但是由于直线方程有五种形式，是否选择点斜式是最简单的解法呢？

(1)、(2)两个小题可以选择一般式，

如(1)设2x+3y+c=0为所求直线，将P(2，-1)代入方程求出c=-1，所以2x+3y-1=0为所求．

(3)可以选择截距式． 当截距等于0时，3x+2y=0也符合题意． 第一象限．

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求：k的取值范围．

分析

两直线的交点坐标即为两个方程组的解所确定． 据题意：x＞0，y＞0． 例3

已知直线l1：(a+2)x+(1-a)y-3=0与直线l2：(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直．求：a的值．

错解

直线l1，l2的斜率k1，k2分别为： 因为l1⊥l2，所以k1·k2=-1．解出a=-1．

评述

上述解法的错误原因在于没有考虑直线斜率不存在的情况， 不垂直．例3的正确答案应该是：a=-1或a=1．

例4

已知直线l的倾角为135°，它被直线l1：y=2x和x轴截得的线段长为5．

求：直线l的方程．

分析

由已知直线倾角为135°，可设其方程为y=-x+m，只有一个待定的字母系数m．设法利用已知条件求出m的值即可．

解

设l：y=x·tan135°+m，即y=-x+m． 例5

如图1，直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有

[

]

A．k1＜k2＜k3

B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1

D．k1＜k3＜k2

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分析

题目考查观察图形的能力．根据图形的位置关系判定斜率之间的关系．只要正确认识斜率即为倾角的正切，就能迅速作出判断．选D．

例6

已知直线l通过点A(-2，2)，且与坐标轴围成的三角形的面积为1．求：直线l的方程．

分析

从已知直线通过点A，可以考虑设l的方程为点斜式，待定系数是斜率k；如果从另一个角度考虑，所求直线与坐标轴围成的三角形的面积为1，可以设所求方程为截距式．

解法一

设y-2=k(x+2)，令x=0， 所以2(k+1)2=k①或2(k+1)2=-k②．

x+2y-2=0或2x+y+2=0． (以下略) 评述

教师可引导学生寻找解题思路，并对不同思路比较其优缺点．

二、对称及有关问题

1．点关于直线的对称点

例7

点A(4，0)关于直线5x+4y+21=0的对称点是

[

] A．(-6，8)

B．(-8，-6) C．(6，8)

D．(-6，-8) 分析

点A与点A′关于直线l对称，那么AA′⊥l且AA′的中点应该在直线上． 解

得x0=-6，y0=-8．所以选D．

评述

由于题目是以选择题形式呈现，可将各选择支逐一代入题目验证，由于A，B，C所给点分别与A点连线的中点都不在5x+4y+21=0上，均予以排除，故选D．

2．直线关于直线对称

例8

如果直线l与直线x+y-1=0关于y轴对称，那么直线l的方程是______．

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解

以(-x，y)代原方程中的(x，y)，得到所求直线方程为-x+y-1=0，即x-y+1=0．

评述

应该熟悉已知直线关于x轴、y轴、y=x、y=x对称的直线方程的求法．

例9求直线y+7y-6=0关于直线x+y-2=0对称的直线方程．

分析

以任意一条直线l为对称轴，求直线l1关于l对称的直线l2方程可以借助于求轨迹的方法．具体操作程序是：在l2上任取一点P(x1，y1)求点P关于l的对称点Q．(用x1、y1表示)，利用点Q在直线l1上，将点Q坐标代入l1的方程，即得出直线l2的方程．

解

在所求直线上任取一点P(x1，y1)，设点P关于x+y-2=0的对称点Q(x0，y0)．则 即7x+y-10=0为所求直线的方程．

评述

此法适用面广，例如求曲线：y2=4(x-2)关于直线x+y-2=0对称的曲线，按上述方法轻而易举获解．

三、数学思想培养

例10

已知：点A(1，5)，B(5，3)，C(6，6)，直线l经过点C，且与A，B两点的距离相等．求直线l的方程．

解

(1)当A，B两点位于直线l的同侧时，由于点A，点B到l距离相等，所以l∥AB，即kAB=kl． (2)当A，B两点位于直线l的两侧时，由于点A，点B到l距离相等．

所以l经过线段AB的中点D(3，4)．

由两点式得直线l的方程为

整理得2x-3y+6=0．

综上所述，所求直线l的方程为

x+2y-18=0或2x-3y+6=0．

评述

分类讨论的思想．在几何中往往是依据图形的不同位置展开，此例中是按照点A，B与l的不同位置关系进行讨论．

例11

已知直线l经过点P(2，3)，且和两条平行直线：3x+4y+8=0

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分析

所求直线l经过点P(2，3)，要想使问题解决，或求出它的斜率，或者再找到一个位于直线l上的点，此题难点是如何将条件|AB|=3， 设直线l的斜率为k．则有

7x+y-17=0或x-7y+19=0．

评述

转化的思想内涵十分丰富，本例中使用转化思想主要体现在

四、综合题评析

例12

已知△ABC的两个顶点A(-10，2)，B(6，4)，垂心是H(5，2)，求顶点C的坐标．

解

据题意作图，如图2．

点C应是过点B与AH垂直的直线和过A与BH垂直的直线的交点．

因为A(-10，2)，H(5，2)，所以BC所在直线方程为

x=6．

① 由①、②解出点C(6，-6)．

例13

直线l过点P(0，1)与两直线l1：x-3y+10=0，l2：2x+y-8=0分别交于A，B两点．若线段AB恰被点P平分．求直线l的方程．

解

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．据题意有 经过P(0，1)，B(4，0)的直线方程为x+4y-4=0．

评述

上面的解法引入四个量：x1，x2，y1，y2，似乎比较繁，不如直接设斜截式简捷．但此法充分运用了曲线与方程这一概念、对于处理圆锥曲线等问题仍有积极的作用．

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能力训练

1．若点A(3，3)，B(2，4)，C(a，10)，三点在一条直线上，则a的值为

[

] A．-4

B．-3 C．-2

D．4 2．已知点A(2，-3)，B(-3，-2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，那么l的斜率k的取值范围是

[

] 3．若直线(3-m)x+(2m-1)y+7=0与直线(1-2m)x+(m+5)y-6=0互相垂直，则m的值为

[

] 4．两条直线l1：x+l=0，l2：x+2y-3=0，则l1与l2的夹角为

[

] 5．直线l通过直线7x+5y=24和直线x-y=0的交点，并且点A(5，1) [ ] A．3x+4y+10=0

B．3x-y+4=0 C．3x-y-4=0

D．x-3y+4=0 6．已知直线y=kx+k-2与直线x+y=5相交，且交点在第一象限，那么k的取值范围是______．

7．直线l与直线l1：3x-4y-7=0及直线l2：12x-5y+6=0的夹角相等，则直线l的斜率为______．

8．经过点A(-2，-1)及直线7x-y+3=0与直线3x+5y-4=0的交点的直线方程是______．

9．已知三角形两个顶点A(-10，2)、B(6，4)及重心G(5，2)，那么第三个顶点C的坐标为______．

10．菱形ABCD，B(3，5)，C(7，3)，A，D分别在直线y=1、y=-1上．满足上述条件的菱形有______个．

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11．已知方程x2+(k-1)y2-3ky+2k=0表示两条相交直线．求k的值．

12．已知点A(2，3)，B(4，1)，直线l：x+2y-2=0．在直线l上求一点P，使点P分别满足下列条件

(1)|PA|+|PB|最小；

(2)||PA|-|PB||最大．

13．已知等腰三角形一腰所在的直线方程l1：x-2y-2=0，底边所在直线的方程l2：x+y-1=0，点P(-2，0)在另一腰上．求另一腰所在直线的方程．

14．已知A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)三点，若它们到直线l：y=kx的距离的平方和最小，求这个最小值及k的值．

15．经过点M(2，1)作直线l分别交x轴正半轴、y轴正半轴于A，B两点，求分别满足下列条件的直线方程．

(1)使△AOB的面积S最小；

(2)使|MA|·|MB|最小．

答案提示

1．A

2．A 3．B

4．B 9．(19，0)

10．2 若上述方程表示两条直线，则k2+8k=0，且k-1≤0，解出k=0或-8，均合题意

12．(1)由于A，B两点在直线l同侧．作点A关于l的对称点A′， (2)AB所在直线与l的交点P(14，-9)即为所求．以上作法的理论依据均可由平面几何证出

13．根据平面几何知：等腰三角形两底角相等．推出l2到l1的角等于l3到l2的角．依据到角公式可求出l3的斜率k=2，所求直线方程为：2x-y+4=0 a2-2aS+4S=0，由△≥0解出S≤0或S≥4．所以△AOB面积的最小值为4．所求直线l的方程为x+2y-4=0 设计说明

本节课是研究最简单的曲线——直线．一方面教师要强调基础知识．另一方面教师应利用知识本身不难这一特点，突出解析几何学科的特点，使学生认清如何运用代数的方法研究几何图形的性质．教学过程第一部分例题就是按照上述想法配备的．

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让学生从题海中跳出来，就要帮助他们认识各类问题的共性与特性，抓住共性深入研究直至这类问题研究透彻为止．第二部分例题针对对称问题展开研究，不满足于关于某些特殊直线的对称，当关于任意直线对称的问题都能圆满解决方才罢休．

第三部分题目是渗透数学思想方法．限于篇幅，没有展开．目前中学数学教学中要求四种数学思想让学生掌握．数形结合、分类讨论、函数方程、转化的思想．教师要有一种意识，结合每一章的教学内容，适时、适量地渗透数学思想．日积月累，方能见成效．

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