3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学设计内容推荐

直线的倾斜角与斜率的教学设计

衡南一中 李 佳

一、教学目标

1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。

2、通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。

3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想。

4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。

二、教学重点与难点

重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；

2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式；

3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。

难点：用代数方法推导斜率的过程。

三、教学方法

计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。

四、教学过程

（一）引入课题

引言: 几何学是研究图形的几何性质的，包括其形状、大小和位置关系。本节我们将开始学习一门全新的几何——解析几何，它试图用代数的方法来研究几何图形的性质，那如何实现呢？

在直角坐标系中，点可以用坐标表示，上图中，如果给定了四点A，B，C，D的坐标，那么四边形ABCD的形状和大小就唯一确定了。只要抓住关键点的坐标，通过坐标的运算就可以研究图形的几何性质。象这样，借助直角坐标系，用代数的方法来研究几何问题，就是解析几何基本的思想方法。我们先从最简单的几何图形——直线开始。

(二)生成概念

问题1:在直角坐标系下，确定一条直线的几何要素有哪些? 教师可根据回答情况引导学生对倾斜角这一概念的关注，如学生回答两点确定一直线后，教师追问:一点能确定一直线吗? 用什么能刻划直线相对于x轴的倾斜程度呢? 你能对下列图形中的三条直线标上相应的角吗? - 1 -

ypoxypoxypox

直线与x轴相交形成四个角，习惯上选用如图所示的角来表示直线相对于x轴的倾斜程度。你能试着定义一下这个角吗? 1、

倾斜角的定义

在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线l与x轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角，叫做直线l的倾斜角。（注意：1、直线向上方向；2、x轴的正方向）

倾斜角概念能描述过P点的所有直线的倾斜程度吗? 你能由定义得出直线倾斜角的取值范围吗？

ypolxypolyopyxxpolx

l

2、直线倾斜角的范围

规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0，由此得到直线倾斜角的范围为0,180. 000提问：你认为下列说法对吗？1）所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应.2）每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线. 练习：看看下列三条直线，它们倾斜角的大小关系是什么？

l1yol2l3x

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问题2：在日常生活中，我们还有没有碰到过表示倾斜程度的量？

升高量前进量

提问：1）观察图，我们发现坡越陡，坡面与地平面所成的角越大，你认为这个角的变化与图中哪个数量变化有关？2）坡面与地平面所成角不变的情况下，升高量与前进量都在变化，

那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？

设坡度为k，kAC|BC||BD|tan,kADtan，坡度是升高量与前进量的比值，即为坡角|AB||AB|DCA的正切值。显然坡越陡，坡度越大 前进量升高量B

追问：当坡角为90度时，坡度k为何值呢？

类比坡度可以引进一个量：直线倾斜角的正切值，数学上称之为直线的斜率，来描述直线倾斜程度的量。如何给出直线的斜率的定义呢？

3、直线的斜率

0当倾斜角不是90时，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，用k表示，即ktan90

0想一想：1）倾斜角相同的直线，斜率是否相同呢？2）斜率相同的直线，倾斜角又是否相同呢？3）斜率为正或负时，倾斜角是怎样变化的？直线具有怎样的位置？（用几何画板演示）

k0时，00900;k0时，9001800

(三)自主探究

问题3：我们知道，两点可以唯一确定一条直线，如果知道直线上的两点，怎样来求直线的斜率呢？

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思考：（1）如下左图，若已知点A（1，3），B（3，1），C（6，7），D（3，7），试求直线AB，0tan(180)tan] BC，CD，DA的斜率。[提示：yyP2(x2,y2)yP2(x2,y2)P1(x1,y1)P1(x1,y1)oxoxox

1(x1,y1),P2(x2,y2)，求直线P1P2的斜率。

（2）如上右两图，若已知点P追问：1）当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？2）当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？3）已知直线上两点A(a1,a2),B(b1,b2)，运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A，B的顺序有关吗？若在直线上另取两点，其斜率会改变吗？（用几何画板演示）

1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式为4、直线的斜率公式：过两点Pky2y1yy2

或k1（x1x2）x2x1x1x2（四）练习巩固

例：已知A(4,2)，B(-8,2)，C(0,-2)。求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是钝角还是锐角。

变式1:如图，直线l1

，l2

，l3的斜率分别为k1

，k2

，k3，则下列不等式成立的是(

) A. k1 >k2 >k3

B. k2 >k1 >k3

C. k3 >k2 >k1

D. k3 >k1 >k2

l3oyl2l1x

变式2:在平面直角坐标系中，画出经过原点的斜率分别为1，-1，2和-3的直线（五）课时小结

l1,l2,l3,l4。

1）直线的倾斜角的定义及范围；2）直线的斜率定义；3）斜率与倾斜角间的关系；4）斜率公式。

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