一、圆锥曲线的光学性质及其应用第二课时教学设计

圆锥曲线的光学性质及其应用

《圆锥曲线的光学性质及其应用》

说

课

黄石二中 叶济宇

数学源于现实，通过现实世界的模型提出问题，可以激发学生探求客观世界的积极性，在旧知识点上提出新的问题，能激活学生头脑中的旧知识，调动学生主动学习的心理倾向。

―――弗赖登塔尔

一、

教材分析：

1、教材的地位和作用：根据新课程标准的要求，新教材对于教学内容的安排与旧教材不同，不仅安排了研究性课程的内容，而且还适当的穿插了21个阅读材料，目的是为了扩大学生的视野，丰富学生的课程资源。本课题出现在高中数学第二册第八章第六节后的阅读材料中，既是对圆锥曲线初步知识的一个完善，又是对圆锥曲线系统知识的一个延伸与拓展，集中反映了三种圆锥曲线的光学性质。通过圆锥曲线光学性质的研究对培养学生探究和解决问题的能力具有良好的训练价值，而且把物理学和数学有机结合起来了，体现了数学与其它自然科学的统一和谐之美。

2、教学重难点：

重点：圆锥曲线的光学性质及其应用的研究和拓展

难点：圆锥曲线的光学性质的探究过程和方法

二、学情分析：

1、知识结构：本节课的教学对象是高二学生，他们已经学过了圆锥曲线的基本知识，对物理学中光传播的基本原理也有所了解

2、思维水平：学生已经具备了解析几何当中的一些简单计算和证明的能力但是对于解决实际数学模型的能力还不够；由单元化向系列化解决问题的过渡还有些困难

3、心理水平：学生对于探究性学习还不甚了解，对于高中数学应用问题有些畏难心理 三、教学目标：

本次课程强调对所学知识、技能的实际运用，注重学习的过程和学习的实践与体验，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，制定如下教学目标：

1、知识目标：圆锥曲线的光学性质及其应用的拓展与探究

2、能力目标：通过对圆锥曲线的光学性质的研究和发现，培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力；培养学生用所学的数学知识去研究解决生活中的实际问题的能力；培养学生收集、分析和利用信息的能力；培养学生的独立探究能力和数学建模能力，提高学生的思维水平。

3、德育目标：以圆锥曲线的光学性质的探索为载体，培养学生分享与合作的团队精神，认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索的科学精神。培养学生的创新意识和应用意识，使学生认识到数学源于生活，又服务于生活，培养学生辩证唯物主义世界观

。

四、教法、学法分析：

由于这是一个阅读材料，要想学生真正成为研究的主体，必须引导学生身临其境，发挥其主动作用。同时由于本节课题是阅读材料，从而对探究的内容与范畴没有严格的限制，对知识的跨度也没有严格的约束，允许学生自由的拓展自己的思维空间。

1.教学方法：启发式探索法和引导式讨论法相结合

圆锥曲线的光学性质及其应用

我本节课的设计程序为：A.创设问题情景，切入课题；B.探求解决问题的方法；C.得出科学结论；

D.发展、运用知识。

教法重在引导、启发、点拨、激励、拓展；

通过这样的教法可以充分调动学生学习的主动性、积极性，开拓了学生的视野，同时培养了学生的自主学习、动手探究的能力。

2.教学手段：采用多媒体和自制教具辅助教学

使用多媒体和自制教具辅助教学，变静为动，由平面几何图形联系到日常生活中的实物，由抽象到直观，由教师操作到师生互动，打破学生思维上的被动，突破教学难点，培养学生的数学情操。

3.学法指导：体验→合作交流→自主探究→发展运用

五、教学过程：

教学过程是师生互相交流的活动过程，教师起主导作用，是学生实践活动的组织者、引导者与合作者；学生是学习的主体，是学习的主动参与者和知识的建构者，为充分发挥学生的主体性及教师的主导作用，教学程序设计了六个环节：

课

程

流

程

图

创设情境

任务驱动

科学研究

发展思维

培养品质

提出课题

诱发兴趣

引申推广

共同探索

师生互动

继续探索

自主探索

锻炼能力

联想反思

光学性发展运用知识

质背景

学习动机激发

（一）创设情境、提出问题

学习动机维持

教育目标的达成

本节课的开始由多媒体演示“神州六号”飞船绕地球旋转运行的画面，并描绘出运行轨迹图。

[问一] 2005年１０月１２日９时零分零秒，中国“神州六号”飞船实验成功

，至此中国将稳步迈向太空时代。请问：“神州六号”飞船绕地球旋转的轨迹是什么图形？

【设置依据】让学生形成对圆锥曲线的感性认识，感受数学的应用价值，明白生活实践中有很多数学问题，数学来源于实践，同时培养学生学会用数学的眼光去观察周围事物的能力，并体现了爱国主义思想的渗透。

此时老师可以指出，在我们生活空间当中，除椭圆外，还有双曲线、抛物线等，并让学生举出实际生产、生活中的有关例子，再运用多媒体展示两个模型给他们看：第一个是2008年北京奥运会国家主体育场的“鸟巢”模型，第二个是手电筒模型。

并就手电筒中的小灯泡模型，向学生解释一个奇怪的现象，一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但是把它装在圆柱形手电筒里，经过适当的调节，就能射出一束比较强的平行光线，（辅以实物模型向学生演示），这是什么原因呢？

【设置依据】使学生对本节课要探讨的内容产生兴趣，培养学生对立统一的观点，教师也可以很自

圆锥曲线的光学性质及其应用

然的引出课题。

（二）引申推广、共同探索

【问二】

下面是中学数学一个典型习题：

已知抛物线y2=2px (p>0) 内有一点A（a, y0）,F为抛物线的焦点，试在抛物线上找一点M，使得|MA|+|MF|最小。

由于在直线部分也讨论过距离和最小的问题，并且与光线反射紧密联系在一起，同时学生有一定的光学基础，于是我就向学生提出了这样一个问题：既然光线沿着最短的路线行走，那么，从F射出的光线要经过抛物线反射到A，是否沿着F→M0→A的路线？此问题既让学生感到有趣，又体现了数学与物理学之间的综合。

由于是经一曲线反射，我们还是运用极限的思想，把抛物线上的每一小段看成是直线，这一点学生在学习光的漫反射时用到过，是能接受的。如把M0（x0,y0）附近看成线段，这条线段所在的直线近似L Y N MNO M A(m,X F 于过M0的抛物线的切线，经过计算验证角度之间的关系，得到抛物线的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴（多媒体演示）。

【设置依据】“思维从疑问开始”，由于学生熟知直线部分的最短距离问题，通过创设情境，激发了学生的求知欲，使学生急于想知道抛物线的光学性质，但又无从回答，形成认知冲突，使学生进入愤悱状态。

【应用】1.手电筒

(如图1);2.

探照灯（如图2）3.

太阳能灶（如图3）『逆用抛物线的光学性质』

图

1 图

2 图

3

（三）师生互动、继续探索

此时学生发现，以他们现有的知识居然已经能够解释这么有用的发明的原理，都感到很兴奋，很自然的，有些同学提出：椭圆是否也有类似的光学性质？

我没有立刻给出结论，而是鼓励学生猜想：如果椭圆也有类似的光学性质，那么结论会是什么样呢？很自然的，有些同学回答说“从焦点发出的光线，经过椭圆上的一点反射后，反射光线平行于椭圆的长轴”，当然也有同学认为椭圆与抛物线的结论应该不会完全相同。我仍然没有立刻回答哪个对哪个错，而是提出，让我们一起来探索探索。

引导学生去验证：入射角是否等于反射角？学生经过验证后发现椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆上的一点反射后，反射光线必过椭圆的另一个焦点。（图4）（多媒体演示）

圆锥曲线的光学性质及其应用

图

4 图

5

图

6 【设置依据】既让学生明确思维的目的，又体现了学生的主体作用和老师的主导作用。

【应用】电影放映机的聚光灯（如图5）椭圆形的弹球球桌

（四）自主探索、锻炼能力

这时，有些同学又问：双曲线是否也有类似的光学性质？我肯定了学生的猜想，并将全班学生分成四个小组，让每位同学课后试着去探索一下结论，可以集体讨论，相互交流，期间教师可以给学生一些指导性的建议。并且规定每个小组要拿出自己的研究成果，专门抽出一个单位时间让每一个小组推荐一名学生说出自己小组的思维过程并给出证明。给学生充分创造展示自己才能的机会。

从学生展示的情况来看，绝大多数同学都能找到双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线上的一点反射后，反射光线是散开的，但其反向延长线必过双曲线的另一个焦点。（如图5）（多媒体演示）

【应用】汽车反光镜、天文望远镜的设计都是利用了双曲线的反向虚聚性质

最后我要求学生整理出研究成果，并作出研究报告。

通过这一研究性课题的提出、研究、取得成果到深入发展的过程，使我受到了深刻的教育：学生中蕴藏着巨大的智慧和力量，教师的任务就是唤起他们的学习兴趣，点燃他们智慧的火花，释放他们实践的能量，从而达到培养学生的研究能力、动手实践能力和创新能力。所以，我又向大家指出：实际生活中有很多的发明，用我们现有的知识已经能够很好地解释了，希望同学们平时多观察，多思考，试着用我们现有的知识去解释一些生活常识，相信你们的能力会在不知不觉中提高的。

（五）发展、运用知识

椭圆、双曲线、抛物线的光学性质是各自表述的，能否把它们统一呢？显然，关键是要解决两个焦点与一个焦点的矛盾.对于抛物线，我们可想象另一个焦点在主轴正向的无穷远处，这样，三种曲线的光学性质就可以统一为“由圆锥曲线一焦点发出的光线，经反射后，其反射光线所在直线必经过另一焦点.”注意到两焦点的中点即为圆锥曲线中心，这就启发我们，当抛物线的中心与另一焦点想象为位于主轴正向上的无穷远处时，则有心无心的某些差异就可能消失，从而能由有心曲线的性质猜测出抛物线的未知性质. 【设置依据】引导学生对数学的统一美、奇异美的追求，成为探索未知的金钥匙.追求数学美感，追求自然界的和谐统一，能成为学生简化结果、深化问题、推广结论，探究数学世界的强大精神力量,也成为判断事物的一个重要标准. 【联想】古罗马演艺场、音乐厅、美国白宫会议室屋顶等等的的椭球形设计，都充分揭示了圆锥曲线的光学性质在声学中也有广泛的应用。

【反思】那么雷达、卫星天线等也做成抛物面形状呢？

【尝试】鼓励学生运用圆锥曲线的光学性质尝试进行小发明创造

学生通过交流、研讨得到研究成果，让学生在理解知识的基础上，要求他们在新的情境中运用所学的圆锥曲线的光学知识来解决问题，强化知识技能的针对性。提供两个习题供供学生探讨。

例1、P为椭圆上一点，过中心O作直线与P处的切线平行，交PF1于Q，求证：PQOA1为1（F一个焦点，A1与F1在短轴的同侧）

例2、设椭圆长轴为A1A2，自焦点F1向切线PT引垂线，垂足为T，证明：T在以A1A2为直径的圆上。

【设置依据】巩固研究成果，检验学生运用知识的能力

(六)圆锥曲线光学性质及其应用的背景

历史上第一个考查圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年~325年）；大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线。他们两位对圆锥曲线的研究是很实在的：考察不同倾斜角的平面截圆

圆锥曲线的光学性质及其应用

锥其切口所得到的曲线，也就是说如果切口与底面所夹的角小于母线与底面所夹的角，则切口呈现椭圆；若两角相等，则切口呈现抛物线；若前者大于后者，则切口呈现双曲线。并且，阿波罗尼奥还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F一侧做成镜面，并在F处放置光源，那么经过椭圆镜反射的光线全部通过另一个焦点F。热也和光一样发生反射，所以这时便会被烤焦，这也就是焦点名称的由来。据说这一发现是他在研究椭圆的作法（也就是现行教材中一开始介绍的作法）时得出的。

而圆锥曲线真正从后台走上前台，从学术的象牙塔中进入现实生活的世界里，应归功于德国天文学家开普勒（公元1571年~1630年），开普勒在长期的天文观察及对记录的数据分析中，发现了著名的“开普勒三定律”，其中第一条是：“行星在包含太阳的平面内运动，划出以太阳为焦点的椭圆”，就这样，梅纳库莫斯和阿波罗尼奥出于数学爱好而研究的曲线在近2000年之后于天文学的舞台上登场了。后来哈雷又利用圆锥曲线理论及计算方法准确地预测到哈雷慧星与地球最近点的时刻，1758年在哈雷逝世16年之后，哈雷慧星与地球如期而遇，这引起了全欧洲、乃至全世界的轰动，也进一步推动人们对圆锥曲线研究兴趣的提升。

【设置依据】重视对学生进行数学史教育和思想教育，发展非智力因素，体现数学的人文价值，激励他们在科学的道路上勇于探索、不畏艰难。

六、评价分析：

1.教学过程：从一个具体的习题当中创设情境，调动学生发现问题的积极性，循序渐进地引导学生主动的去探究问题，在探究中体会到成功的愉悦。让学生在“提出问题→主动研究→解决问题→得出结论→内延外拓”中促进学生数学研究能力，交流能力，数学表达能力，协作能力。

2.教学内容：从直线反射的性质类比到抛物线的光学性质，结合现实生活中的例子引导学生发现圆锥曲线的光学性质，提高了他们的认知水平，将物理学和数学的有机结合，达到了科学协调发展的要求。

3.教学思想：（1）既注重知识的获得、能力的培养、科学思维方式的形成，还特别突出学生的参与意识、思想教育以及个性品质培养

（2）数学教学既要尊重知识，又要重在应用、探索，本次课既体现了探索又体现了应用

（3）笛卡尔说：“美是一种恰到好处的协调和适中”.三种圆锥曲线的光学性质从某些侧面揭示了客观世界的和谐统一.

第六届国际数学教育会议提出：“数学教育还必须将数学中所固有的美展示给学生，使学生不仅获得知识，而且还受到美的熏陶.”教学中通过对数学美的分析、挖掘，让学生在感受数学美、鉴赏数学美、应用数学美、创造数学美的过程中引发他们对学习的兴趣和热情，引发学生的各种积极的情感体验.

附录：

【设置依据】供学生课后探讨，开拓学生的视野，丰富学生的知识

一般证明圆锥曲线的光学性质都是以解析几何的方式来证明的，这里不妨也给学生提供用古典几何的方式来证明抛物线、椭圆及双曲线的光学性质。同时从这里也可以得到一种圆锥曲线的切线的尺规作图的方法。让学生的视野更开拓，思维更活跃，以达到发展学生的能力为目的。 （1）.拋物线的光学性质：

设P为拋物线上任一点，T为过P与拋物线相切的切线，PF'为与对称轴S平行的射线，则PF、PF'与切线T夹等角。

圆锥曲线的光学性质及其应用

T证明：如右图，一拋物线以L为准线，F为焦点，S为其对称轴，设Q为L上一动点，直线T为QF的中垂线，LQMPF'S过Q作直线S的平行线交直线T于P点，则当Q点在准线上移动时，P点的轨迹形成此拋物线。

F因为QF的中垂线T与QP恰交于一点，所以整条直线上滿足d(P,L)PF的点恰有一点，也就是说T与拋物线恰交于一点；同时，可注意到T与S不平行，

所以T为拋物线的切线。

利用基本的中垂线性质很明显可看出(2).橢圆的光学性质：

椭圆的任意切线，与过切点的两焦半径所夹的锐角相等。

证明：如图，一橢圆以F1,F2为焦点，满足。

PF1PF22a。以F2为圆心，2a为半径画一圆C。T设Q为圆C的一动点，直线T为QF1的中垂线，且交QF2于P点。则由橢圆的定义很明显QCPM可看出，当Q点在圆C上移动，P的轨迹恰好为此橢圆。

F2F1设P'为T上异于P的一点，则P'F1P'F2P'QP'F2F2Q2a，因此P'不在橢圆上。所以T为橢圆的切线。

利用基本的中垂线性质很明显可看出(3).双曲线的光学性质：

双曲线的任意切线，与过切点的两焦半径所夹的锐角相等。

证明：如右图，一双曲线以F1,F2为焦点，满足。

|PF1PF2|2a。以F2为圆心，2a为半径画一QP圆C。设Q为圆C的一动点，直线T为QF1的中垂线，且交QF2于P点。则由双曲线的P的轨迹恰好为此双曲线。

CF2MF1定义很明显可看出，当Q点在圆C上移动，设TP'为T上异于P的一点，则为双|P'F1P'F2||P'QP'F2|F2Q2a，因此P'不在双曲线上。所以T曲线的切线。

利用基本的中垂线性质很明显可看出。

除此，从这里可看出，拋物线、橢圆及双曲线的一种画法，也能得到如何以尺规作图，

精准的画出這三种曲线的切线。