3.2.2 直线的两点式方程优质课一等奖教案

直线方程的两点式

教学目标

（1）掌握直线方程的两点式、截距式，了解截距式是两点式的特殊情况；

（2）能够根据条件熟练地求出直线的方程．

教学重点

直线方程的两点式、截距式的推导及适用范围．

教学难点

根据条件熟练地求出直线的方程．

教学过程

一、问题情境

1．情境：能否根据我们已经学过的直线的点斜式、斜截式方程求出符合下列条件的直线方程（学生活动）：

1(1,)2；（1）直线经过点(1,2)，（2）直线经过点(1,2)，(1,2)；

（3）直线经过点(0,2)，(1,0)；

（4）直线经过点(1,2)，(1,2)．

答（1）x1；（2）y2；（3）y2x2；（4）2xy0

2．问题：我们知道已知直线的斜率及其上的一个点，或已知直线的斜率及其在y轴上的截y轴上距能求出直线方程；如果已知直线经过两个点，或已知直线的在x轴上的截距和在的截距如何求直线方程？

二、建构数学

1．两点式

1(x1,y1)，P2(x2,y2)(x1x2)，求直线l的方程。

已知直线l经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)(x1x2)，

解：∵直线l经过两点Pk∴斜率yyy2y1yy121(xx1)x2x1x2x1，代入点斜式得：，

yy1xx1yy1x2x1．

当y1y2时，方程可写成2说明：（1）以上方程是由直线上的两点确定，叫做直线方程的两点式；

（2）两点式方程适用范围是x1x2，y1y2．

2．思考：

yy1y2y1xx1x2x1的左右两边各具有怎样的几何意义？它表示什么图形？

（1）方程

yy1y2y1yy1xx1xx1x2x1和方程y2y1x2x1表示同一图形吗？

（2）方程

1(x1,y1)连线的斜率，右边表示直线上定点解：（1）左边表示直线上动点P(x,y)与定点PP1(x1,y1)与定点P2(x2,y2)连线的斜率，它表示的图形是直线P1P2除去点P1(x1,y1)；

yy1y2y1yy1xx1xx1x2x1表示的图形是直线Pyy1x2x11P2除去点P1(x1,y1)，（2）方程方程2表示的图形是一条直线．

三、数学运用

例1．已知直线l与x轴的交点(a,0)，与y轴的交点(0,b)，其中a0,b0，求直线l的方程．

y0xaxy1(a,0)(0,b)lb00aab解：∵经过两点，，代入两点式得：，即．

说明：（1）以上方程是由直线在x轴与y轴上的截距确定，叫做直线方程的截距式；

（2）截距式方程适用范围是a0,b0．

例2．三角形的顶点是A(5,0)、B(3,3)、C(0,2)，求这个三角形三边所在直线方程。

解：∵直线AB过A(5,0)，B(3,3)两点，

y0x(5)303(5)，

整理得3x8y150，

由两点式得：∵直线BC过C(0,2)，斜率k2(3)5033，

5y2(x0)3

由点斜式得：，整理得：5x3y60，

∵直线AC过A(5,0)，C(0,2)两点，

xy1由截距式得：52，整理得：2x5y100．

例3．求经过点(4,3)且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程。

解：设直线在x轴与y轴上的截距分别为a,b，

xy1a0,b0ab①当时，设直线方程为，

431(4,3)∵直线经过点，∴ab，

a1a7b7，∴直线方程为

xy10或xy70；

b1|a||b|∵，∴或②当ab0时，则直线经过原点及(4,3)，

∴直线方程为

3x4y0，

综上，所求直线方程为

xy10或xy70或3x4y0．

2．练习：教材第107页练习1、2、3题．

四、回顾小结：

1．直线的两点式、截距式方程及适用范围；

2．如何根据条件选用恰当的形式熟练地求出直线的方程．

五、课外作业：

课本第110页习题3.2A第4题、第111页第10题．