2.2.4 平面与平面平行的性质优质课教案

2．2.4

平面与平面平行的性质

1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理．

2．能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．

1．直线与平面平行的性质定理

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线文字语言

与该直线平行

符号语言

a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b

图形语言

2.平面与平面平行的性质定理

文字语言

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

符号语言

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

图形语言

探究点一

线面平行性质定理的应用

如图所示，四边形EFGH为空间四面体ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．

(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；

(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．

[解]

(1)证明：因为四边形EFGH为平行四边形，

所以EF∥HG，

因为HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，

所以EF∥平面ABD.

因为EF⊂平面ABC，

平面ABD∩平面ABC＝AB，所以EF∥AB.

所以AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.

CFx(2)设EF＝x(0

CB4FGBFBC－CFx3则＝＝＝1－.从而FG＝6－x.

6BCBC42

3x＋6－x＝12－x，

所以四边形EFGH的周长l＝22又0

即四边形EFGH周长的取值范围是(8，12)．

在本例(2)中，其他条件不变．若AB与CD成60°的角，求四边形EFGH面积的最大值．

解：因为AB与CD成60°的角，

由例题(1)解析知EF∥AB，FG∥CD，

所以EF与FG成60°的角，

过E作ET⊥FG，垂足为T，

3则ET＝EFsin 60°＝x，所以四边形EFGH的面积

2336－x×x

S＝FG×ET＝223＝－3x2＋33x，

4

33当x＝－＝2时，

32×－43Smax＝33.

线∥面线面平行的判定线∥线．在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键．

1. (1)如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG，则EH与BD的位置关系是________．

线面平行的性质

(2)证明：因为AB∥平面α，AB⊂平面ABC，

平面ABC∩平面α＝EH，所以AB∥EH.

因为AB∥平面α，AB⊂平面ABD，

平面ABD∩平面α＝FG，所以AB∥FG，所以EH∥FG，

同理由CD∥平面α可证EF∥GH，

所以四边形EFGH是平行四边形．

探究点二

面面平行性质定理的应用

如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D. (1)求证：AC∥BD；

(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长．

[解]

(1)证明：因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，所以AC∥BD.

PAPC43(2)由(1)得AC∥BD，所以＝，所以＝，

ABCD5CD1527所以CD＝(cm)，所以PD＝PC＋CD＝(cm)．

44

(1)利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交．

(2)面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与性质定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化．

)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N. 求证：N为AC的中点．

解：(1)C (2)证明：因为平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，

所以C1N∥AM，又AC∥A1C1，

所以四边形ANC1M为平行四边形，

所以AN∥C1M且AN＝C1M，

11又C1M＝A1C1，A1C1＝AC，所以AN＝AC，

22所以N为AC的中点．

探究点三

平行性质定理在探索性问题中的应用

已知正三棱柱ABC-A′B′C′中，D是AA′上的点，E是B′C′的中点，且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置，并给出证明．

[解]

D点为AA′的中点．

证明如下：

取BC的中点F，连接AF，EF，

设EF与BC′交于点O，连接OD，

易证A′E∥AF，A′E＝AF.

易知A′，E，F，A共面于平面A′EFA，因为A′E∥平面DBC′，

A′E⊂平面A′EFA，

且平面DBC′∩平面A′EFA＝DO，所以A′E∥DO.

在平行四边形A′EFA中，

因为O是EF的中点(因为EC′∥BF，且EC′＝BF)，

所以D点为AA′的中点．

解答平行问题探索性题目的注意事项

(1)有中点这一条件时，一般试探性的以中点为基础作辅助线或面，然后再证明是否满足条件．

(2)关于平行的性质定理是作证算的理论依据．

(3)一般步骤：取点、连线、成形→探索论证→计算(作答)．

1．应用线面平行性质定理主要是证明线线平行，应用时，需要经过直线找平面或作平面，即以平面为媒介证明两线平行，具体做法是经过已知直线作一个平面和已知平面相交，交线和已知直线平行．

2．面面平行的性质定理给出了证明线线平行的一种方法，同时该定理还可推出：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面”，即“面面平行⇒线面平行”．

3．三种平行关系的转化

三种平行关系是紧密相连的，可以任意转化，其相互转化关系如图所示：

4．证明线线、线面、面面平行的一般思路

“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析问题和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．

1．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中(

) A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数多条与a平行的直线

D．存在唯一一条与a平行的直线

解析：选D.因为平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，设直线a与点B确定的平面为γ，则α∩γ＝a，设β∩γ＝b，且B∈b，则a∥b，所以过点B与a平行的直线只有直线b.

2．棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．

解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

因为平面MCD1∩平面DCC1D1＝CD1，

所以平面MCD1∩平面ABB1A1＝MN，且MN∥CD1，

所以N为AB的中点，所以该截面为等腰梯形MNCD1，

因为正方体的棱长为2，

易知，MN＝2，CD1＝22，MD1＝5，

所以等腰梯形MNCD1的高MH＝（5）2－23＝2.

2221329所以截面面积为(2＋22)×＝.

2229答案：

23. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，E是A1C1上的一点，且A1B∥平A1E面B1DE，则的值为________．

EC1

解析：连接BC1交B1D于点F，连接EF，

则平面A1BC1∩平面B1DE＝EF.

因为A1B∥平面B1DE，A1B⊂平面A1BC1，所以A1B∥EF，

A1EBF所以＝.

EC1FC1因为BC∥B1C1，

所以△BDF∽△C1B1F，

BFBD所以＝.

FC1B1C1BD1A1E1因为D是BC的中点，所以＝，所以＝.

B1C12EC121答案：

2