3.3.4 两条平行直线间的距离优质课教学设计

3.3.3 点到直线的距离

黎城一中

赵志君

【教学目标】

知识与能力

1、理解点到直线距离公式的推导过程。

2、掌握点到直线的距离公式及其应用。

过程与方法

1、对情景问题进行数学抽象，建立直角坐标系进行代数运算，体会坐标法思想。

2、参与点到直线的距离公式的推导过程，体会数学问题的转化过程，并培养学生的数学运算能力。

3、通过练习、反思评价对点到直线距离公式进行熟练应用。

情感、态度与价值观

1、通过参与公式推导过程，培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。

2、在进行复杂计算时，锻炼学生挑战困难，勇于探索的意志品格。并培养学生通过团队合作解决困难的能力和意识。

【教学重难点】

重点：点到直线距离公式的推导和应用。

难点：公式推导中思路的形成过程和代数运算。

【教学过程】

一、情景引入、数学抽象

图为台风“尤特”的移动路线图，以及它的风暴区域。如果你为气象局工作人员，你能否判断，风暴核心区（黄色区域）是否会波及海口市？

（师生共同完成数学抽象、建立直角坐标系、将几何元素代数化。）

我们将台风的移动路线抽象为一条直线l，将海口市抽象为一个点P0，则此时需要求点P0到直线l的距离。

我们可以建立直角坐标系，根据前面所学的坐标法思想，可设点P0的坐标为(x0,y0)，设直线l的方程为AxByC0，求点P0到直线l的距离。

二、生成问题、探究思路

[问题]点P0的坐标为(x0,y0)，设直线l的方程AxByC0，如何求点P0到直线l的距离？

（师生活动）

1、请同学们先独立思考，然后再以小组为单元进行讨论交流，形成思路。

2、讨论之后，让一个小组选代表上台展示交流成果。

点

P

到直线

l

的距离0

点P0和点Q之间的距离

点Q的坐标

l和直线P0Q的方程

联立直线

求直线P0Q的方程

直线P0Q的斜率点P0坐标

直线l的斜率

3、现在我们已经分析出一个思路来，请同学按思路进行推导。

（学生运算时，教师适当提示指导，鼓励学生勇于挑战，克服困难，适时进行情感渗透。）

同学们在计算中可能发现，这个思路比较简单，但计算相当繁杂。大家不要退缩，迎难而上。选择合适的运算技巧，来攻克难关。挑战一下自己，挑战一下困难。如果发现陷入困境，可以向同组同学或者老师寻求提示和帮助。

4、让学生举手查看完成情况，并请一个学生自愿上台展示推导过程。

5、（预设问题）若学生只研究了A0且B0的情况时，应鼓励其他同学补充A0,B0和A0,B0两种情况。

三、类比旧知、寻求新解

[问题]上述方法虽然思路非常自然，但是运算非常繁杂，我们再来探究一下，看看有没有其他的推导方法？

（师生活动）

1、我们先来回顾一下上节课推导两点间距离公式的过程。

我们首先求出两条与坐标轴平行的线段的长度，然后利用勾股定理求出这两点间的距离（斜边长）．我们可否用类似的方法来推导点

与直线的距离？

2、学生独立思考，然后以小组为单位进行讨论交流，形成思路。

3、讨论之后请一个小组选代表上台展示交流成果。

作图：当A0且B0时，过点P0分别作两轴的平行线，分别交直线l于R，S两点。

点R

的坐标

点S的坐标P0S的长度P0R的长度利用勾股定理求出RS等面积法求出P0QPPl的距离0Q即点0到直线4、请同学们按照思路，推导公式。要求学生独立完成，力求培养学

生数学运算的核心素养。

5、让学生举手查看完成情况，并请一个学生自愿上台展示推导过程。

教师主要强调，以上推导过程的前提是A0且B0，而A0,B0和A0,B0两种情况，前面已做研究。

四、反思评价、形成结论

[问题] 通过前面的推导，我们得到

当A0且B0时，点P0到直线l的距离dAx0By0CAB22

当A0,B0时，点P0到直线l的距离dy0当A0,B0时，点P0到直线l的距离dx0思考当

C

BC

AA0,B0和

A0,B0时的公式是否也符合

dAx0By0CAB22

（师生活动）

1、请学生快速思考，并进行抢答，锻炼学生思维的敏捷性。

若学生回答不够完整，可请其他同学进行补充。

2、得出结论：

点P0(x0,y0)到直线l：AxByC

d0的距离公式为

Ax0By0CAB22

当A0，或B0时，上述公式也成立。

五、例题学习、应用新知

练***家自学例5，然后做以下练习。

求下列点到直线的距离

(1)A(2,3) l:3x4y30(2)B(1,0) l:3xy3(3)C(1,2) l:3y4x0(4)D(1,2) l:x2

（师生活动）

1、学习完例5之后，请四位学生上台板演，下面学生做完之后，同桌互相检查。

2、发现典型错误，以小组为单位进行总结汇报。

3、错例汇总剖析

（一）未将直线方程化为一般式，导致计算错误。

如第（2）题中，d303

此为错解。

2312（二）公式代入出现错误

如第（3）题中，d34234221

此为错解。

（三）当A0，或B0时，可用数形结合求解，不必死套公式。

如第（4）小题，可直接作图求出d1

例6

大家学习例6，然后来分析一下例6的思路。

（师生活动）

1、先让学生独立思考，然后在阅读课本学习例6。

2、各小组组织讲解，帮助学困生理清思路。

3、请以为同学上台来分析例6思路。

首先SABC1|AB|h

2然后用两点间距离公式求|AB|

用两点式写出直线AB的方程

用点到直线的距离公式求点C到AB的距离，即h. 可见本例综合应用了前面所学的知识。

【课时小结】

同学们，通过这节课的推导和研究，我们得出了求点到直线的距离公式。有了这个研究成果，我们可以用点的坐标和直线的方程，直接通过代数计算求出点到直线的距离。这是笛卡尔带给我们的神奇。坐标法为我们研究几何问题“插上了代数的翅膀”，希望大家带着喜悦而兴奋的心情慢慢体会这双翅膀带给我们研究几何问题的便利和畅快！

【课时作业】

A组7、8题，B组2、4、5题

【板书设计】

3.3.3点到直线的距离

点到直线的距离公式

练习一

错例剖析

例

6

思路分析

【教学反思】