1.4.3 含有一个量词的命题的否定名师教学设计2

教学基本信息

课题

作者及

工作单位

1.4.3全称量词与存在量词（二）量词否定

杨青格

高邑一中

教材分析

（1）

通过探究教学中的一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律。

（2）

通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定。

（3）

使学生体会从具体到一般的认识过程，培养学生抽象，概括的能力。

学情分析

在探究含有一个量词的命题的否定时，学生常常会出现一些逻辑错误，如认为第一个“探究”中的命题（1）

的否定为“所有的矩形都不是平行四边形。”学生在写出第二个“探究”中命题的否定时，也会犯类似的错误。如认为第二个“探究”中命题（2）的否定为“某些平行四边形不是菱形”，这是不对的。我们知道，命题（2）为真命题，而它的否定应为假命题，而命题“某些平行四边形不是菱形”是真命题。

教学目标

利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.

教学重点和难点

教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个

量词的命题进行否定。

教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定。

1、重点：通过研究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定；

2、难点：正确的对含有一个量词的命题进行否定；

教学过程

学生活动

设计意图

教师活动

一、数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。

二、活动尝试

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形；

导（2）每一个素数都是奇数；

入（3）xR，x2-2x+1≥0

（1）xM,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行新分析：课四边形；xM,p(x)

（2）xM,p(x)，否定：存在一个素数不是奇，

创数；xM,p(x)

（3）xM,p(x)，否定：xR，x2-2x+1<0；设情

xM,p(x)

学生独立思考，得出答案。

让学生熟悉熟悉全称量词和存在量词。

境

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 三、师生探究

问题2：写出命题的否定

2（1）p：

x∈R，x＋2x+2≤0；

（2）p：有的三角形是等边三角形；

（3）p：有些函数没有反函数；

（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；

分析：（1） xR，x2＋2x+2>0；

（2）任何三角形都不是等边三角形；

（3）任何函数都有反函数；

（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；

从集合的运算观点剖析：痧B)U(A

UA?B)UB,痧U(AUA?UB

五、巩固运用

例1

写出下列全称命题的否定：

（1）p：所有人都晨练；

2（2）p：xR，x＋x+1>0；

（3）p：平行四边形的对边相等；

2（4）p：

x∈R，x－x+1＝0；

分析：（1） P：有的人不晨练；（2）

x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存

在平行四边形，它的的对边不相等；（4）xR，x2－x+1≠0；

例2

写出下列命题的否定。

（1）

所有自然数的平方是正数。

（2）

任何实数x都是方程5x-12=0的根。

（3）

对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.

巩（4）

有些质数是奇数。

（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。

固解：

（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。

应

（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。

用

（4）的否定：所有的质数都不是奇数。

解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如培养学生熟练掌握符号语言

。

“若x＞3，则x2＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情

评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。

理由：

例3

写出下列命题的否定。

1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；（1）

若x2＞4 则x＞2.。

而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。2．命题（2）

若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。

的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必（3）

可以被5整除的整数，末位是0。

然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是（4）

被8整除的数能被4整除。

同真同假，也可能是一真一假。

（5）

若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。

3．

原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则q”；而它的否命题为

“若┓p，则┓q”，既否定2解（1）否定：存在实数x0，虽然满足x0＞4，但x0≤2。或者说：条件又否定结论。

2存在小于或等于2的数x0，满足x0＞4。（完整表达为对任意的实

数x, 若x2＞4 则x＞2）

2（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个x0，使x0+ x0-m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。）

（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。

（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除) （5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）

例4

写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。

（1）p：若x＞y,则5x＞5y；

（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；

（3）p：正方形的四条边相等；

（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。

解：（1） P：若

x＞y，则5x≤5y；

假命题

否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题

（2） P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题

否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。

（3）

P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。

（4）

P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。假命题。

否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。真命题。

评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：

1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。

3．

原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则q”；而它的否命题为

“若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。

小（反思小结本节课的内容）

结回六、回顾反思

顾

在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。

布置七、作业

作

业