3.3.1 两条直线的交点坐标教学设计及课堂实录

3.3-1两直线的交点坐标

三维目标

知识与技能：1。直线和直线的交点

2．二元一次方程组的解

过程和方法：1。学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。

2．掌握数形结合的学习法。

3．组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的

直线系方程。

情态和价值：1。通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内

的联系。

2．能够用辩证的观点看问题。

教学重点，难点

重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。

难点：两直线相交与二元一次方程的关系。

教学方法：启发引导式

在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关系。引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。

教具：用POWERPOINT课件的辅助式教学

教学过程：

一．情境设置，导入新课

用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。

课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？

二．讲授新课

1．

分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系

已知两直线

L1：A1x+B1y +C1=0,L2：

A2x+B2y+C2=0

如何判断这两条直线的关系？

教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。

几何元素及关系

代数表示

点A

A（a，b）

直线L 点A在直线上

直线L1与 L2的交点A

L：Ax+By+C=0

课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？

学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？

（1）

若二元一次方程组有唯一解，L 1与L2

相交。

（2）

若二元一次方程组无解，则L 1与

L2平行。

（3）

若二元一次方程组有无数解，则L 1

与L2重合。

课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？

2．

例题讲解，规范表示，解决问题

例题1：求下列两直线交点坐标

L1

：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0

解：解方程组

03x4y2

02x2y2

得

x=-2，y=2 所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2），如图3。3。1。

6y42-55x-2-4

教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解。

同类练习：书本110页第1，2题。

例2 判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。

（1）

L1：x-y=0，L2：3x+3y-10=0 （2）

L1：3x-y=0，L2：6x-2y=0 （3）

L1：3x+4y-5=0，L2：6x+8y-10=0

这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。

三．启发拓展，灵活应用。

课堂设问一。当变化时，方程

3x+4y-2+（2x+y+2）=0表示何图形，图形

有何特点？求出图形的交点坐标。

（1）

可以一用信息技术，当

取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。

（2）

找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论。

（3）

结论，方程表示经过这两条直线L1 与L2的交点的直线的集合。

例2 已知a为实数，两直线l1：axy10，l2：xya0相交于一点，

求证交点不可能在第一象限及x轴上. 分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围. a1a21解：解方程组若＞0，则a＞1.当a＞1时，－＜0，此时交点在第二象限内. a1a1a21又因为a为任意实数时，都有a11＞0，故≠0 a12a1a21,因为a≠1（否则两直线平行，无交点）

，所以，交点不可能在x轴上，得交点(－) a1a1四．小结：直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。

五．练习及作业：

1．

光线从M（-2，3）射到x轴上的一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程。

2．

求满足下列条件的直线方程。

经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直。

板书设计：略

3.3.2直线与直线之间的位置关系-两点间距离

三维目标

知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。

过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。 情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题

教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。难点，应用两点间距离公式证明几何问题。

教学方式：启发引导式。

教学用具：用多媒体辅助教学。

教学过程：

一，情境设置，导入新课

课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题

平面直角坐标系中两点PP12x2x2y2y17，分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为N10，y1，M2x2，0

直线PN11与P2N2相交于点Q。

在直角ABC中，PP1222PQQP2，为了计算其长度，过点P1向x轴作垂线，垂足为

122M1x1，0

过点

向y轴作垂线，垂足为N20，y2 ，于是有

PQM2M1x2x1，QP2N1N2y2y1

1222222

所以，PP122PQQP2=x2x1y2y1。

12222由此得到两点间的距离公式

PP12x2x2y2y122

在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。

二，例题解答，细心演算，规范表达。例1 ：以知点A（-1，2），B（2，7

），在x轴上求一点，使

PAPB,并求 PA的值。

解：设所求点P（x，0），于是有

x102由 PAPB得

22x20722

x22x5x24x11解得 x=1。

所以，所求点P（1，0）且 PA间距离公式理解。应用。

解法二：由已知得，线段AB的中点为Ｍ，11022222 通过例题，使学生对两点1２＋７，直线AB的斜率为２2k=７－２７－２２＋７３1２２

＝ｘ－ＰＡ＝１＋２＋０－２＝２２３３２2２－７线段AB的垂直平分线的方程是 y-２＋７３1＝ｘ－

２2２－７在上述式子中，令y=0，解得x=1。

所以所求点P的坐标为（1，0）。因此

ＰＡ＝１＋２＋０－２＝２２

同步练习：书本112页第1，2 题

三．

巩固反思，灵活应用。（用两点间距离公式来证明几何问题。）

例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。

这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。

证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。

设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为

２２

ABa2，CDa2，ADb2c2BC

２２，ＢＤ＝ｂ－ａ＋ｃACab＋ｃ

22222２２２所以，ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝２ａ＋ｂ＋ｃ

２２２２２２２ＡＣ＋ＢＤ＝２ａ＋ｂ＋ｃ２２２所以，

２２ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＣ＋ＢＤ

因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：

第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。

第二步：进行有关代数运算。

第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。

思考：同学们是否还有其它的解决办法？

还可用综合几何的方法证明这道题。

课堂小结：主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。

课后练习1.：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等

2.在直线x-3y-2=0上求两点，使它与（-2，2）构成一个等边三角形。

3．（1994全国高考）点（0，5）到直线y=2x的距离是——

。

板书设计：略。

２２２２２２