阅读与思考 “且”“或”“非”与“交”“并”“补”教学设计(第二课时)

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

一、基础知识批注——理解深一点

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．

①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；

②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；

③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作綈p.❷

❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.

❷“命题的否定”与“否命题”的区别

(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．

(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．

(2)命题真值表：

p 真

假

真

假

命题真假的判断口诀

p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反.

2．全称量词与存在量词

q 真

真

假

假

p∧q

真

假

假

假

p∨q

真

真

真

假

綈p

假

真

假

真

量词名称

全称量词

存在量词

常见量词

所有、一切、任意、全部、每一个等

存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等

表示符号

∀

∃

3.全称命题与特称命题

命题名称

全称命题

特称命题

4．全称命题与特称命题的否定

命题

∀x∈M，p(x)

∃x0∈M，p(x0)

二、常用结论汇总——规律多一点

含逻辑联结词命题真假的等价关系

(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．

(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．

(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．

(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．

三、基础小题强化——功底牢一点

一判一判对的打“√”，错的打“×”

(1)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(

) (2)命题p和綈p不可能都是真命题．(

) (3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(

) (4)若命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至多有一个是真命题．(

) (5)“长方形的对角线相等”是特称命题．(

) 答案：(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×

(二)选一选

命题的否定

∃x0∈M，綈p(x0) ∀x∈M，綈p(x) 命题结构

对M中任意一个x，有p(x)成立

存在M中的一个x0，使p(x0)成立

命题简记

∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0)

1．命题∀x∈R，x2＋x≥0的否定是(

) A．∃x0∈R，x20＋x0≤0

C．∀x∈R，x2＋x≤0 2

B．∃x0∈R，x0＋x0<0

D．∀x∈R，x2＋x<0 解析：选B

由全称命题的否定是特称命题知命题B正确．

112．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若>，则x

) A．①③

C．②③

B．①④

D．②④

解析：选C

由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③綈q为真命题，则p∧(綈q)为真命题；④綈p为假命题，则(綈p)∨q为假命题，故真命题为②③. 3．下列四个命题中的真命题为(

) A．∃x0∈Z,1<4x0<3 C．∀x∈R，x2－1＝0

B．∃x0∈Z,5x0＋1＝0

D．∀x∈R，x2＋x＋2>0 131解析：选D

选项A中，

(三)填一填

4．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是________________________________．

答案：存在两个全等三角形的面积不相等

bx>－a，命题q：关于x的不等式(x－a)(x5．若命题p：不等式ax＋b>0的解集为x

－b)<0的解集为{x|a

解析：由题知命题p为假命题，命题q为假命题，故只有“綈p”是真命题．

答案：綈p

考点一

判断含有逻辑联结词命题的真假

[典例]

(1)(2017·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是(

) A．p∧q

C．綈p∧q

B．p∧綈q

D．綈p∧綈q

1(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x0x2>2x，则下列命题为真的是(

) A．p∧(綈q)

C．p∧q

B．(綈p)∧q

D．(綈p)∨q

[解析]

(1)当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．

117(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋＝>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4x04时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧ (綈q)为真命题，故选A.

[答案]

(1)B

(2)A

[解题技法]

判断含有逻辑联结词命题真假的步骤

[题组训练]

1．(2019·惠州调研)已知命题p，q，则“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

解析：选B

充分性：若綈p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则綈p为假命题．所以“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．

2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是(

) A．p∨(綈q)

B．p∨q

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

C．p∧q

D．(綈p)∧(綈q) 解析：选B

若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．

考点二

全称命题与特称命题

[典例]

(1)命题∀x∈R，ex－x－1≥0的否定是(

) A．∀x∈R，ex－x－1≤0

B．∀x∈R，ex－x－1≥0 C．∃x0∈R，e0－x0－1≤0

D．∃x0∈R，e0－x0－1<0 2(2)对命题∃x0>0，x0>20，下列说法正确的是(

) xxx0A．真命题，其否定是∃x0≤0，x20≤2

xB．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2x

C．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2x

D．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x

[解析]

(1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D. (2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C. [答案]

(1)D

(2)C

[解题技法]