4.3.2 空间两点间的距离公式新颖的课程导入教案

第5课时

空间直角坐标系

1.了解空间直角坐标系及空间两点间的距离公式和中点坐标公式.

2.会用空间直角坐标系刻画点的位置,即能由点的位置写出坐标及由坐标描出点的位置.

3.能利用空间两点的坐标求出两点间的距离.

4.会根据已知点的坐标求该点关于坐标轴、坐标平面及原点的对称点的坐标.

人们在确定一个物品的具体位置时,经常会用前后、左右、上下六个方向来定位,这六个方向恰好可以用两两垂直且相交于一点的三条直线来表示.若这三条直线用三个坐标轴表示,就构成了空间直角坐标系,思考空间直角坐标系有几个坐标轴、坐标平面?如何用坐标表示空间中的点?

问题1:空间直角坐标系

(1)定义:以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴,这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫作坐标

,x轴、y轴、z轴叫作

.通过每两个坐标轴的平面叫作

,分别称为

平面、

平面、

平面.

(2)画法:在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=

,∠yOz=

.

(3)坐标:设点M为空间的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x、y和z,那么点M就和有序实数组(x,y,z)是

的关系,有序实数组(x,y,z)叫作点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作

,其中x叫作点M的

,y叫作点M的

,z叫作点M的

.

说明:本书建立的空间直角坐标系都是

手直角坐标系,即在空间直角坐标系中,让右手拇指指向

轴的正方向,食指指向

轴的正方向,如果中指指向

轴的正方向,则称这个空间直角坐标系为右手直角坐标系.

问题2:空间两点间的距离公式

(1)公式:空间中任意两点P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)之间的距离|P1P2|=

,特别地,任一点P(x,y,z)与原点间的距离|OP|=

.

注意:此公式与两点的先后顺序无关,空间两点间的距离公式可以看成平面内两点间距离公式的推广.

问题3:空间中的中点坐标公式

在空间直角坐标系中,已知点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2),设AB的中点坐标为(x,y,z),则x=

,y=

,z=

.

问题4:空间直角坐标系中对称问题

在空间直角坐标系内,已知点P(x,y,z),则: (1)点P关于原点的对称点的坐标是

; (2)点P关于x轴的对称点的坐标是

; (3)点P关于y轴的对称点的坐标是

; (4)点P关于z轴的对称点的坐标是

;

(5)点P关于xOy平面的对称点的坐标是

; (6)点P关于yOz平面的对称点的坐标是

; (7)点P关于zOx平面的对称点的坐标是

.

正确建立空间直角坐标系

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,所有的棱长都是1,建立适当的空间直角坐标系,并写出各点的坐标.

空间中两点间的距离

如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=6,|AD|=6,|AA1|=4,E,F,G分别是线段AC,CC1,A1D1的中点,求△EFG的周长.

空间中点的对称问题

求点A(1,2,-1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标.

若点C到点A(-1,2,3)、B(0,0,5)的距离相等,则点C坐标满足的条件为

.

考题变式(我来改编):

参考答案

知识体系梳理

问题1:(1)原点

坐标轴

坐标平面

xOy yOz zOx (2)45°或135°

45°或90°

(3)一一对应

M(x,y,z)

横坐标

纵坐标

竖坐标

右

x y z

问题2:(1)

-

-

-

问题3:

问题4:(1)(-x,-y,-z)

(2)(x,-y,-z)

(3)(-x,y,-z)

(4)(-x,-y,z)

(5)(x,y,-z)

(6)(-x,y,z)

(7)(x,-y,z) 重点难点探究

探究一:【解析】

取AC的中点O和A1C1的中点O1,连接BO、OO1,可得BO⊥AC,OO1⊥AC.分别以OB、OC、OO1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

∵三棱柱各棱长均为1,∴

OA=OC=O1A1=O1C1=

,OB=

.

又∵A、B、C三点均在坐标轴上,

∴A(0,-

,0),B(

,0,0),C(0,

,0).

∴A1(0,-

,1),C1(0,

,1).

∵点B1在xOy面内射影为B,且BB1=1.

∴B1(

,0,1).

∴三棱柱ABC-A1B1C1中各点的坐标为A(0,-

,0),B(

,0,0),C(0,

,0),A1(0,-

,1),B1(

,0,1),C1(0,

,1).

【小结】(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则:

①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内; ②充分利用几何图形的对称性.

(2)求空间中某点的坐标时,一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号),从而确定第三个坐标.

探究二:

【解析】以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.

则有D(0,0,0),A(6,0,0),C(0,6,0),A1(6,0,4),C1(0,6,4),D1(0,0,4).

由中点坐标公式,得E(3,3,0),F(0,6,2),G(3,0,4).

又由两点间距离公式, 得|EF|=

-

-

-

=

, |EG|=

-

-

-

=5, |FG|=

-

-

-

=7.

所以|EF|+|EG|+|FG|=

+5+7=12+

.

故△EFG的周长为12+

.

【小结】1.求几何体中线段长度的步骤:(1)先利用几何体中的线面关系、对称关系等建立适当的空间直角坐标系;(2)再表示出几何体中各点的坐标;(3)最后利用距离公式求线段的长度.

2.空间中两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广,常应用在四个方面:一是根据坐标求距离,二是根据距离求点的坐标,三是利用边长判断三角形的形状,四是求空间中点的轨迹方程,解答时可类比平面上解决这些问题的方法.在求轨迹方程时,注意理解方程表示的图形.

探究三:

【解析】如图所示,过点A作AM⊥xOy交平面于M,并延长到C,使AM=CM,则点A与点C关于坐标平面xOy对称,且C(1,2,1).

过点A作AN⊥x轴于N并延长到点B,使AN=NB, 则点A与点B关于x轴对称,且B(1,-2,1).

所以点A(1,2,-1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1);关于x轴对称的点为B(1,-2,1).

【小结】对称关系简记为“关于谁对称谁不变,其余的均相反”.特别地,关于原点对称,三个坐标符号都要变.

全新视角拓展

【解析】设满足条件的点C坐标为(x,y,z),由题意可得

-

-

=

-

, 即2x-4y+4z-11=0.

【答案】2x-4y+4z-11=0 思维导图构建

(

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