4.3.2 空间两点间的距离公式优秀教学实录

4.3.2 空间两点间的距离公式

重点难点

教学重点：空间两点间的距离公式. 教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 课时安排

1课时

教学过程

导入新课

在空间直角坐标系中，若已知两个点的坐标，则这两点之间的距离是惟一确定的，我们希望有一个求两点间距离的计算公式，对此，我们从理论上进行探究.

新知探究

问题1：在空间直角坐标系中,点P(x，y，z)到xOy平面的距离，怎么求？

问题2：在空间直角坐标系中,点P(x0，y0，z0)到坐标轴的距离，怎么求？

dx22y0z022dyx0z022dzx0y0

问题3：空间点到原点的距离？

|BP|=|z||OB|=x2+y2

|OP|=x2+y2+z2

问题4：如果是空间中任意一点P1（x1，y1，z1）到点P2（x2，y2，z2）之间的距离公式会是怎样呢？

如图，设P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2），是空间中任意两点，且点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2），在xOy平面上的射影分别为M,N,那么M,N的坐标为M（x1，y1，0）， N（x2，y2，0）

在xOy平面上,MN=(x2-x1)+(y2-y1).过点P1作P2N的垂线，垂足为H,则

22 PH=MN=(x-x)+(y-y)MP1=z1,NP2=z2,所以 HP2=z2-z1.在RtΔPHP中，12121,12

22PP=PH+HP=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2,因此，空间中1212根据勾股定理， 2任意两点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）

PP=(x-x)+(y2-y1)2+(z2-z1)2.1221

典例

例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：

(1)线段AB的中点坐标和长度；

(2)到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.

解:(1)设M(x,y,z)是线段AB的中点,则根据中点坐标公式得

x= 22

31513303=2,y==,z==3.所以AB的中点坐标为(2,,3). 22222根据两点间距离公式,得

222d(A,B)=(13)(03)(51)29, 所以AB的长度为29. (2)因为点P(x,y,z)到A,B的距离相等, 所以有下面等式：

(x3)2(y3)2(z1)2(x1)2(y0)2(z5)2. 化简得4x+6y-8z+7=0, 因此,到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0.

变式训练

在z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.

解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|, (01)2(00)2(z2)2(01)2(03)2(03)2(z1)2, 整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).

例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC是一等腰三角形.

证明：由两点间距离公式得：

222|AB|=(74)(13)(21)27,

222|BC|=(57)(21)(32)6, 6. 222|CA|=(45)(32)(13)由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC是一等腰三角形.

变式训练

三角形△ABC的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC是一直角三角形.

解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以

222|AB|=(11)(21)(31)=3, 222|BC|=(01)(01)(51)32, 222|CA|=(10)(20)(35)=3. 又因为|AB|+|CA|=|BC|,所以△ABC是直角三角形.

例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( ) A.0 B.2225835 C. D.

777222解析:|AB|=(x1)(32x)(3x3)

=14x32x19

=14(x)2872535. 77当x=835时,|AB|的最小值为. 77故正确选项为B. 答案：B

课堂小结

1.空间两点间的距离公式的推导与理解. 2.空间两点间的距离公式的应用.

作业：课时练