3.3.4 两条平行直线间的距离教案2

3.3.4两条平行直线间的距离

一、教学目标

知识与技能：1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式；

能力和方法：2．学生在学习过程中通过类比归纳的思想，由浅入深，通过自主探究，分析、整理出推导公式的不同算法思路。体会从特殊到一般，从具体到抽象的数学研究方法。

情感和价值：3．让学生体验数学活动充满探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神；

让学生学会用运动联系观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辨证关系。

二、教学重点难点：

重点：点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式

难点：点到直线距离公式推导的理解，点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式的应用. 三、教学方式：启发、引导、讨论，先学后教. 四、教学过程：

（一）情境设置，导入新课：

前面我们已经学习了两点间的距离公式 逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离 情境设置：在铁路的附近，有一大型仓库。现要修建一条公路与之连接起来，且要使公路最短，同时算出最短的路程。

仓库 铁路

最短距离也就是把仓库看成一个点，把铁路看成一条直线，点到直线之间垂线段最短，即要求点与直线之间的垂线段的距离。

这里体现了“化归”思想方法，把一个新问题转化为

一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题 画出图形，分析任务，理清思路，解决问题

（二）讲解新课：

1．点到直线距离公式：

王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离为：d

（1）提出问题

Ax0By0C王新敞AB22

在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0,y0)，直线l:AxByC0，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢?

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学生可自由讨论 （2）数形结合，分析问题，提出解决方案

学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长. 画出图形，分析任务，理清思路，解决问题

方案一：设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，王新敞yRQoSlxdP(x0,y0)王新敞B（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQA的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线l的距离为d 由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为王新敞此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法

王新敞方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R(x1,y0)；作y轴的平行线，交l于点S(x0,y2)，

由A1x1By0C0By0CAx0C,y2得x1. AxByC0AB20所以，｜PＲ｜＝｜x0x1｜＝Ax0By0C

A｜PS｜＝｜y0y2｜＝Ax0By0C

BA2B2×｜Ax0By0C｜

ABAx0By0CAB22｜ＲS｜＝PRPS22由三角形面积公式可知：d·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜所以d王新敞

可证明，当A=0时或B=0时仍适用

这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力 意志品质等方面得到了提高 （三）例题应用，解决问题 例1 ．(1)求点P(－1,2)到下列直线的距离．

①y2x10；②x＝2；③y－1＝0. 王新敞王新敞王新敞王新敞

解：直线的方程化为一般式：2x+y100；根据点到直线的距离公式得

－＋2＋10|d＝＝25. 222＋1②法一：直线的方程可化为x－2＝0，

所以d法二：1(1)0222210直线x2与y轴平行3.

d123

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③法一：根据点到直线的距离公式得

d0(1)12110221

法二：因为直线平行于x轴，

所以d＝|2－1|＝1. 例2：

求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。

解：在l2上任取一点P，P(0,3)P到l1的距离等于l1与l2的距离d2370822(7)21414535353

（四）拓展延伸，评价反思 （1）

应用推导两平行线间的距离公式

王新敞已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，

l2：AxByC20，则l1与l2的距离为dC1C2王新敞AB22

证明：设P0(x0,y0)是直线AxByC20上任一点，则点P0到直线AxByC10的距离为dAx0By0C1王新敞AB22

又

Ax0By0C20 即Ax0By0C2，∴d＝C1C2AB22

王新敞四、课堂练习：

例2：

（用两平行直线间的距离公式）

求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。

例3： 求平行线2x-7y+8=0与4x-14y=12的距离。

例4：直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1与l2的方程．

[解析] (1)若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，满足条件．

(2)若l1，l2的斜率存在，设直线的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，因为直线l1过点A(0,1)，则|－1－5k|12点A到直线l2的距离d＝2＝5.解得k＝，

5k＋－2所以l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0，综上所述，满足条件的直线方程有两组．l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5. [答案] l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5 跟踪演练：

4m1.若点(4,0)到直线y＝x＋的距离为3，则m的值为(

) 33A．－1

B．31 C．－1或－31 D．－1或31

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4m[解析] 将直线方程y＝x＋化成一般式

33|16＋m|4x－3y＋m＝0，由题意可知3＝2，

24＋－解得m＝－1或m＝－31. [答案] C 2．两条直线3x＋y－3＝0和6x＋2y－1＝0平行，则它们之间的距离为________．

10答案：

4

五、小结

：1.点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式

2.两平行线间的距离公式. 六、课后作业：固学案第50页1-8题

七．板书设计：1.点到直线的距离

2.两平行直线间的距离

王新敞王新敞

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