1.2.1 充分条件与必要条件优秀公开课教案

1.2 充分条件和必要条件

第一课时

【教学目标】

1．从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；

2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；

3．培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识．

【教学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义；

【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断．

【教学过程】

一、学生探究过程：

1、情境引入

音乐欣赏《我是一只鱼》

提问：鱼非常需要水，没了水，鱼就无法生存，但只有水，够吗？

探究： p：“有水”；q：“鱼能生存”．判断“若p，则q”和“若q，则p”的真假．

2．练习与思考

写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？

（1）若x ＞ a + b，则x ＞ 2ab, （2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0. 学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．

置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？

答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．

二、讲授新课

1.推断符号“”的含义：

一般地,如果“若p,则q”为真, 即如果p成立，那么q一定成立,记作:“pq”; 如果“若p,则q”为假, 即如果p成立，那么q不一定成立,记作:“pq”. 例如：

1、如果两个三角形全等，那么两三角形面积相等. 提示：两三角形全等



两三角形面积相等

2、如果两个三角形面积相等，那么两三角形不一定全等. 提示：两个三角形面积相等



两三角形全等

练习：

1、用符号  与

 填空.

（1） x2=y2 _______ x=y；

（2）内错角相等 _______ 两直线平行；

（3）整数a能被6整除 _______ a的个位数字为偶数；

（4）ac=bc _______ a=b.

2.用推断符号“和”写出下列命题：

⑴若ab，则acbc；⑵若ab，则acbc；

22

2．充分条件与必要条件

一般地，如果pq，那么称p是q的充分条件；同时称q是p的必要条件．



例如：x ＞ a + bx ＞ 2ab

22 x ＞ a + b是x ＞ 2ab的充分条件

22 x ＞ 2ab 是 x ＞ a + b的必要条件

置疑：如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？

答：由上述定义知“pq”表示有p必有q，所以p是q的充分条件，这点容易理解．但同时说q是p的必要条件是为什么呢？q是p的必要条件说明没有q就没有p,q是p成立的必不可少的条件,但有q未必一定有p. 3.典例解析

例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x ＝1，则x

－ 4x ＋ 3 ＝ 0；（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；

（3）若x为无理数，则x为无理数．

分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．

解略．

练习：下列条件中哪些是a+b>0的充分条件？

① a>0，b>0 ；

②a<0,b<0 ；

③a=3,b=-2 ；

④a>0，b<0且|a|>|b|。

思路分析：先给多个p，进行选择，通过选择，

感知p的不唯一性. 答案：① ③ ④

例２：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件? (1)

若x ＝ y，则x

＝ y；

(2)

若x<3,则x<5；

（3）若a ＞b,则ac＞bc．

分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．

解略．

归纳：通过上述例题进一步理解充分性和必要性：显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即

pq

，只是说法不同而已。通[，，， ]：；：：：

22 2222充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．

必要性：必要就是必须，必不可少．它满足前面说的没有q就没有p,q是p成立的必不可少的条件,但有q未必一定有p. 符合“若非q则非p”为真（即qp）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．

4．从不同角度理解充分条件、必要条件的意义

（1）借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。设A,B为两个集合，集合AB是指

xAxB。这就是说，“xA”是“xB”的充分条件，“xB”是“

xA”

的必要条件。对于真命题“若p则q”，即pq，若把p看做集合A，把q看做集合B，“pq”相当于“AB”。

（2）借助“电路图”理解充分条件与必要条件。设“开关A闭合”为条件A，“灯泡B亮”

为结论B，可用图1、图2来表示A是B的充分条件，A是B的必要条件。

A BB A C

C

A 图2 图1 B C

A B

图3 图4

【做一做】

1. 用“充分条件”和“必要条件”填空: (1)“a>0,b>0”是“a+b>0”的________________.

(2)“tan θ=1”是“ 4 ”的

________________.

r的________________.

是(3)若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p答案:(1)充分条件

(2)必要条件

(3)充分条件

2.设集合M={x|0

“a∈M ”是“a∈N ”的________条件. 3.

用集合的方法来判断下列哪个p是q的充分条件，哪个p是q的必要条件? （用

 或 

填写）

（1）p:菱形 ________________q:正方形

（2）p: x>4 ________________q: x>1 同学们课后思考探究：根据充分条件和必要条件的概念和判定方法思路，你还能得到命题中条件和结论之间的哪些关系？

提示：命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：

（1）充分必要条件（充要条件），即

pq且qp；

（2）充分不必要条件，即pq且qp；

（3）必要不充分条件，即pq且qp；

（4）既不充分又不必要条件，即pq且qp

变式训练1 用“充分不必要”、“

必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空: (1)“x2=4”是“x=-2”的_______条件;

(2)“函数f(x)=cos(2x+θ)是偶函数”是“θ=kπ(k∈Z)”的_______条件; 11(3)“a>b”是“

ab

”的_______条件;

(4)“lg(x-y)>0”是“x-y>0”的________条件.

三、课堂小结

1．充分条件的意义； 2．必要条件的意义；

3.充分性与必要性的判别步骤和判别方法。

四、课后作业：教材P12 练习第1、2、3、4题

五、教学反思

学生对于充分条件和必要条件的理解，需要经过一定时间的体会，先给学生对于充分条件和必要条件一个准确的规范表述，及对充分条件和必要条件进行判断的方法及步骤，教学中不急于求成，而在后续的教学中经常借助这些概念表达，阐述和分析数学问题。