1.2.1 充分条件与必要条件设计意图

1.2充分条件与必要条件教学设计

江永二中

蔡世龙

1、教材分析：

教科书结合实例给出推断符号“”和等价符号“”，并引出充分条件、必要条件与充要条件的概念．它们是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系的重要工具，是中学数学中最重要的数学概念之一．在“充分条件与必要条件”这节内容前，教材安排了“命题及其关系”作为必要的知识铺垫，并把充分、必要条件的定义安排在第一课时，第二课时学习充要条件．学习本节，要注意与前面有关逻辑初步知识内容的联系，本节所讲的充分条件、必要条件与充要条件中的p、q与四种命题中的p、q内容是一致的，即它们可以是简单命题，可以是不能判断真假的语句，也可以是“若p则q”形式的复合命题，但本节中，一般只要求p、q是简单命题，而不作更深的讨论．

本节的重点与难点是关于充分条件、必要条件及充要条件的概念的理解和判断．

（1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件和结论之间的因果关系．

（2）在判断条件和结论之间的因果关系中应该：

①首先分清条件是什么，结论是什么；

②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接法、间接法（即反证法），也可以举反例说明其不成立；

（3）在讨论条件和条件的关系时，要注意：

①若pq，但qp，则p是q的充分但不必要条件；

②若qp，但pq，则p是q的必要但不充分条件；

③若pq，且qp，则p是q的充要条件；

④若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．

（4）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题与逆否命题等价，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．

2、学情分析：

虽然经过初中及高一的学习，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但学生在学习本节内容时

的知识储备仍不够丰富．这些概念较抽象，与学生原有的思维习惯有所差异，理解和掌握这些内容有一定难度．结合以往的教学实践，我估计学生会在以下几个方面的学习中存在困难：⑴若pq，为什么把q叫p的必要条件；⑵在判断p是q的什么条件时，学生知道要判断p是否是q的充分条件，但会“忘记”还要判断p是否是q的必要条件．⑶在具体关系判断中，较难确定谁是条件p．为了突破难点，理顺知识间的逻辑关系，让学生能在比较、识别中把握三个概念的内涵，基于本节内容特点，教学中通过师生对实例的考察研究，采用探究式教学法，通过师生互动来实现本节课的教学目标．对学生的要求，不可追求一步到位，要有一个随着学习的深入，逐步提高、完善的过程．

3、教学目标：

1．初步理解充分条件、必要条件与充要条件的概念，掌握几种基本类型的判定方法，熟练利用“⇒”解决具体问题.

2．从实例探究中感知概念；从原命题及逆否命题的对比分析中形成概念；从发散练习题的构造中理解概念；从集合的角度深化概念；提高数学语言的运用能力和逻辑推断能力．

3．在对命题的条件与结论间逻辑关系的探究中培养学生思维的严谨性；通过严格推理和证明的教学，形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，认识数学的科学价值和人文价值，从而进一步树立辩证唯物主义的世界观．

4、重点难点：关于充分条件、必要条件及充要条件的概念的理解和判断．

5、教学过程： 一、感知概念

（1）课前准备工作时音乐欣赏《我是一只鱼》；

提问：鱼离不开水，没有水，鱼就无法生存．但只有水，够吗？

引导探究：

p：“有水”；q：“鱼能生存”．判断“若p，则q”和“若q，则p”的真假．

（2）练习：

①写出命题“若xa2b2，则x2ab”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假；

②写出命题“若ab0，则a0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

（3）感知概念、引出课题

问题：能否改变②的条件，使原命题变成真命题？

以上两题的解答可以发现有的命题真，有的命题假，即有的命题可以从条件推得结论，有的则不能；而另外也有命题只要结论成立，就一定不能少了命题给出的条件，但是没有这个条件，

结论不一定能成立．那么命题中的条件与结论到底有怎样的关系呢？这是本节课要讨论的问题——充分条件与必要条件．

二、形成概念

一般地，“若p，则q”是真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作“pq”．

学生练习：用“”和“”符号表示“感知概念”中的（1）和（2）及其逆命题．

通过研究原命题，对建立在学生原有认知水平上“充分”这个感性化的词汇获得数学意义上的认识，引出充分条件的定义；通过研究逆否命题，又让学生理解了q是p成立的“必需要有”的条件，引出必要条件的定义．

定义：“pq”，也就是条件p“足以”保证或“充分”保证结论q成立，这时我们说p是q的充分条件；从命题的角度看，“pq”，根据逆否命题与原命题的等价性，既也就是如果没有q成立，就一定没有p成立，q成立是p成立“必须要有”的前提条件，我们说q是p的必要条件，尝试初步运用，设计2个探究问题：

①如果p是q的必要条件，那么应该有pq还是qp？

②如何判断p是q的什么条件？

再回到前面的（1）和（2）进行实践操作．先判断p是q的什么条件，由学生完成，教师适当点评，之后再独立判断q是p的什么条件．

给出定义：一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq．此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件．

例1 完成下表

p x1

f(x)x

q x24x30

p是q的什么条件

q是p的什么条件

f(x)在(,)上为增函数

x2为无理数

x为无理数

两个三角形全等

ab

判别步骤：

这两个三角形面积相等

acbc

①认清条件和结论；②考察是否有pq和qp，即原命题和逆命题的真假；③下结论．

由学生自行归纳总结：

原命题

pq (真) pq (假) pq (真) pq (假) 逆命题

qp (假) qp (真) qp (真) p是q的

充分非必要条件

必要非充分条件

充要条件

既不充分也不必要条件

qp (假) 三、理解概念

例2

下列条件中哪些是ab0的充分不必要条件？

A.a0,b0

D.a3,b2

B. a0,b0

E.ab

C. a0,b0且|a||b|

F. a0,b0且|a||b|

例3 请同学们分成四个小组，分别编写：充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件和既不充分又不必要条件四种类型的题目．

四、深化概念

如果p表示某元素x属于集合P，q表示该元素属于集合Q，如何用集合间的关系理解“pq”的含义？

⑴

“pq”即：xPxQ，则PQ，用图形可以表示为：

P

或

P

、Q

Q ⑵“pq”即xPxQ且xQxP，则PQ，用图形可以表示为：

P

、

Q

；. 例4 写出|x|1的一个必要不充分条件__________________________．

例5 已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与⊙O相切的充要条件．

五、知识小结

(1)定义：①若pq，则p是q的充分条件．（p可能会多余浪费）

②若qp，则p是q的必要条件．（p可能还不足以使q成立）

③若pq，则p是q的充要条件．（p不多不少，恰到好处）

(2)判别步骤：①找出p、q；②判断pq与qp的真假．③根据定义下结论．

6、知识结构或板书设计

1.2充分条件与必要条件

(1)定义：

①若pq，则p是q的充分条件；

②若qp，则p是q的必要条件；

③若pq，则p是q的充要条件． (2)判别步骤：

9、作业设计：

①找出p、q；②判断pq与qp的真假；③下结论．

(3)判别技巧：

例2 下列条件中哪些是ab0的充分不必要条件？

A.a0,b0

B. a0,b0

C. a0,b0且|a||b|

D.a3,b2 E.ab

F. a0,b0且|a||b|

”填空：

（1）用符号“”和“①x2y2__________xy；

(3)从集合的角度来理解：

①简化命题；②否定一个命题只要举出一个反例即可；

③遇到复杂命题可将命题转化为等价的逆否命题后再判断．

“pq”即PQ；“pq”

即PQ

②内错角相等__________两直线平行；

③整数a能被6整除______a的个位数学为偶数；

④ac=bc______a=b．

（2）下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的必要条件？

①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；

②若x5，则x10．

③若a+5是无理数，则a是无理数．

④若(xa)(xb)0，则xa. (3)下列各题中，p是q的什么条件？

p x23x4

q x3x4

ax2bxc0(a0)

abc0

P是q的什么条件

b24ac0(a0)

x1是方程ax2bxc0的一个根

x1

x2

|x2|3

x1x1

x3x3

1x5

(4)求圆(xa)2(yb)2r2经过原点的充要条件．

(5)求证：ABC是等边三角形的充要条件是a2b2c2abacbc，这里a，b，c是ABC的三条边．

(6) 已知p是q的充要条件，r是

s的必要条件同时又是q的充分条件，试确定p与r的关系．