3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学内容概述

第三章

直线与方程

3.1 直线的倾斜角与斜率

一、内容及其解析

（一）内容： 3.1.1.直线倾斜角与斜率的概念，直线的斜率公式．

（二）解析：本课是人教版数学必修2第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是用以坐标法研究直线及其几何性质的基础．本课不仅要理解两个概念、得到一个公式，更要了解几何问题代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想方法．

本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用．倾斜角是从几何的角度描述了直线倾斜程度．课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念．斜率是从代数角度描述了直线倾斜程度．课本借助“坡度”引出直线斜率的概念．定义给出了直线的斜率与倾斜角的关系，沟通了刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示的关系．直线可由两点来确定，就是说，任给直线上两点P1(x1,

y1), P2(x2, y2)（其中x1≠x2），那么这条直线唯一确定，进而它的倾斜角与斜率也就确定了，这说明直线的斜率与这两点的坐标有内在联系，因此直线的斜率就可以用直线上两点的坐标来表示，这就是经过两点直线的斜率公式．“坐标法”与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想．

二、目标及其解析

（一）目标：

1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；

2、理解直线的倾斜角和斜率的概念；

3、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．

（二）解析：

1、在平面直角坐标系中观察具体图形，在探索描述直线的倾斜程度的几何要素的过程中，抽象出直线倾斜角的概念，明确倾斜角的取值范围；

2、以日常生活中表示倾斜面的“坡度”问题，引出直线斜率的概念经历用代数方法刻画直线斜率的过程，明确倾斜角与斜率之间的关系；

3、在探究直线的斜率与直线上两点坐标关系的过程中，掌握已知直线上两点计算直线斜率的公式，能根据斜率的计算公式，求直线的斜率；

4、通过经历用代数方法刻画直线斜率的过程，帮助学生了解解析几何的“坐标法”思想和基本研究方法，进一步体会“数形结合”的思想方法．

三、教学问题诊断分析

（一）教学重点：斜率的概念，用代数方法刻画直线斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式．

（二）教学难点：直线的斜率与它的倾斜角之间的关系。应让学生明白直线的倾斜角、斜率都是用来刻画直线倾斜程度的，它们在本质上是一致的．在引入倾斜角概念后还要引入斜率的概念的目的是将直线的倾斜程度代数化，为以后通过点的坐标来计算、刻画直线的倾斜程度服务．

两点确定一条直线是学生知道的，如何认识直角坐标系这一“参照系”下确定直线的几何要素，对学生来说有点困难．所以在教学过程中可以引导学生发现两点确定的其实是直线上的一点及其方向,再通过对直线方向的正确描述的探

- 1 -

讨，形成倾斜角的概念，明确一点和一角是确定直线的几何要素. 引入斜率的概念时，教学中可充分利用学生已有的知识（坡度概念），引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念．知道倾斜角和斜率都可以刻画直线的倾斜程度．探究已知两点求直线的斜率公式,这既是这节课的一个重点，又是后继内容（直线的方程）学习的一个要点．事实上，它揭示了同一直线上的点所具有的一般规律：过任意两点确定的倾斜角是相同的，为学生学习直线方程做了铺垫，同时说明为什么有了直线的倾斜角，还需要引入斜率这个概念的必要性．这一点学生在后继内容学习的过程中会慢慢地体会到. 由倾斜角到斜率，再对斜率的坐标化，这正是解析法思想的所在．要注意的是要通过对在坐标系下的直线的四种位置及P1、P2两点位置顺序的讨论，渗透分类讨论的思想．

四、教学支持条件分析

本课是一个几何问题代数化的过程，数形结合可有效实现教学目标，为了有效实现教学目标，考虑到学生的知识水平和理解能力，借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性．

五、教学过程设计

（一）教学基本流程

倾斜角与斜率的概念

过两点的斜率计算公式

倾斜角与斜率的关系

例题讲解及课堂练习

课堂

小结

（二）教学情景

1、导入新课

在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？

设计意图：通过对已有知识及思想方法的回忆，寻找新的知识“生长点”，引导学生用“坐标法”的思想来思考新的问题，激发学生的求知欲．

为了用代数方法研究直线的有关问题，本节课我们先来探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方法把这些几何要素表示出来．

设计意图：使学生明确本课学习的内容

2、探究新知

（1）直线的倾斜角

问题1：对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些因素确定呢？一点能确定一条直线吗？

设计意图：引导学生发现，两点确定一条直线，过一点不能确定

一条直线

师生活动：通过作图得到答案

问题2：过一点可以作无数条直线，这些直线区别在哪里呢？

设计意图：引导学生得出它们的倾斜程度不同

y师生活动：学生观察图形，思考回答问题

o

- 2 - x

问题3：怎样描述直线的倾斜程度？

设计意图：探索描述直线倾斜程度的几何要素，由此由此倾斜角的概念

师生活动：教师启发学生可以用角来描述它们的倾斜程度

问题4：根据倾斜角的定义，你认为倾斜角的取值范围是什么？

0o设计意图：让学生明确倾斜角的取值范围是

180o师生活动：从定义出发，结合图形，探求倾斜角的取值范围. 问题5：任何一条直线都有倾斜角吗？已知直线的倾斜角能确定一条直线吗？

设计意图：使学生理解确定一条直线的位置的几何要素是：直线上的一个点以及它的倾斜角，两者缺一不可. 师生活动：组织学生讨论，通过图形，得出结论. （2）直线的斜率

问题6：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

设计意图：基于学生的客观现实，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法. 师生活动：引导学生举出生活中的实例，比如，山坡，楼梯等，通过讨论发现“坡度”实际就是“倾斜角的正切值”，由此引出斜率概念. 问题7：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎样结论？

设计意图：沟通数形关系，加上概念理解，明确可以用斜率表示直线的倾斜程度. 师生活动：倾斜角=90。时斜率不存在，切斜角不同其斜率也不同，因此可用斜率来刻画直线的倾斜程度．

问题8：给定两点p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，且x1x2，如何求直线p1，p2的斜率k？

设计意图：引导学生推导出过两点的直线斜率公式．

师生活动：教师与学生共同完成倾斜角为锐角的推导，其余情形由学生自己完成．

问题9：当直线p1p2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？当直线平行于y轴或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？已知直线上两点A(a1,a2)，B(b1,b2)，运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A，B两点坐标的顺序有关吗？

设计意图：通过探索，完善两点式斜率公式，检验斜率的计算与p1，p2两点的顺序无关. 师生活动:总结两点式斜率计算公式：ky2y1y1y2（x1x2）

x1x2x2x1（3）倾斜角与斜率的关系

问题10：从上面的讨论，你能归纳倾斜角与斜率的关系吗？

0。90。

=90。

90。180。

=0。

- 3 -

k0

k不存在

k0

k0

设计意图：明确斜率的正负与倾斜角大小的关系

师生活动：学生自己归纳总结

3、应用示例

例1：已知A (3，2)，B (–4，1)，C (0，–1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. 分析：已知两点坐标，而且x1

≠

x2，由斜率公式代入即可求得k的值；

当ktan0时，倾斜角是钝角；

当ktan0时，倾斜角是锐角；

当ktan0时，倾斜角是0°. 变式练习：

（1）把题中的B点坐标改为(-4，2)，此时直线AB的斜率和倾斜角分别是什么？

（2）把B点坐标改为(3，1)，此时直线AB的斜率和倾斜角分别是什么？

设计意图：根据斜率的定义式，结合图象，熟悉倾斜角和斜率的关系. 例2 ：在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–3的直线l1和l2. 分析：要画出经过原点的直线l，只要再找出l上的另一点M.而M的坐标可以根据直线l的斜率确定；或者k = tan=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可. 变式练习：

(1)在平面直角坐标系中，画出经过点(-2,3)且斜率为0的直线m. (2)在平面直角坐标系中，画出经过点(-2,3)且斜率不存在的直线n. 设计意图：知识的应用

4、课堂小结：

（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？它们之间有什么关系？

（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？

（3）从倾斜角(形)能刻画直线的倾斜程度，到斜率(数)也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么数学思想？

设计意图:培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括．

师生活动：让学生归纳出刻画直线倾斜程度的两种方法：倾斜角(形)和斜率(数)．利用确定直线的两种方法，归纳出求斜率的两个计算公式．在倾斜角和斜率相互转化的过程中体现了数形结合的数学思想．强调“坐标法”是解决解析几何问题的基本方法．

六、目标检测

- 4 -

1.已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率：

。（1）30 （2）=45。 （3）=120。 （4）=135

。

2．求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角：

（1） C(18, 8), D(4, -4) (2)P(0, 0)， Q（-1，3）

3.画出经过点（0, 2），且斜率分别为2与-2的直线。

七、配餐作业

一、基础题（A组）

1.若直线过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l的斜率为 ,倾斜角为

12.已知两点A(x,－2),B(3,0),并且直线AB的斜率为，则x= 2

3.已知点P (3,1)，点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则Q点的坐标为

二、巩固题（B组）

1．经过两点A（2,1），B（1，m）的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是

2．已知直线l1的倾斜角为1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角2为

3．以A(-1，1)、B(2，-1)、C(1，4)为顶点的三角形是(

) A.锐角三角形 B.钝角三角形

C.以A点为直角顶点的直角三角形

D.以B点为直角顶点的直角三角形

- 5 -

4.已知A（1,1），B（3,5），C（a,7）,D(-1,b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值。

三、提高题（C组）

已知两点A（-3,4），B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点

（1）

求直线l的斜率k的取值范围；

（2）

求直线l的倾斜角的取值范围。

- 6 -