探究与发现 为什么截口曲线是椭圆教学目标

2.1.1椭圆及其标准方程

教学目标: 1.知识目标：掌握椭圆的定义及标准方程；

根据条件写出椭圆标准方程；

熟悉求曲线方程的一般方法．

2.能力目标：提高动手能力、合作学习的能力、运用知识解决问题的能力．

3.情感目标：激发学生的兴趣；提高审美情趣；

培养勇于探索、敢于创新的精神．

教学重点：椭圆的定义和标准方程. 教学难点：椭圆标准方程的推导

教学方法：教师应创设情境，设置一系列问题，引导学生思考、归纳、总结、反思运用，直至学生对该知识理解并掌握。

电教手段: 多媒体

实验教具: 一支铅笔、两个图钉、一根细绳、一张硬纸板.

教学过程：

一、新课导入：

我用多媒体演示一些图片，同时请学生拿出事先准备好的自制教具：木板、细绳、图钉、铅笔，同桌一起合作画椭圆．我在学生的绘图纸上精心设计了三个问题：

1、在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？

2、改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？

3、绳长能小于两图钉之间的距离吗？

经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离之和等于常数. 二、讲授新课：

1. 定义椭圆：把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

2.椭圆标准方程的推导：

学生思考两个问题：

求曲线方程的一般步骤是什么？

（2）圆心在原点的圆的方程与不在原点的方程哪个形式更简单？为什么？

接着提问：怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？

（1）建立直角坐标系，设出动点的坐标

以两定点F1

、F2

的连线为

x 轴，以线段

F1 F2

的垂直平分线为y轴，建立坐标系，

设M ( x , y ) 为椭圆上任意一点，| F1F2 | = 2 c (c>0) ，则有F1（－c, 0）、F2 (c ,0). 又设

M与F1

和F2

的距离的和等于常数

2 a ( a > 0 ) . （2）写出动点M满足的集合

让学生利用两点的距离公式，根据椭圆定义列出：

P＝｛M |│MF1│+│MF2│| =2a｝

(3)坐标化

1

（4)化简

接着让学生自己动手开始化简。我安排一名程度较好的学生上来板演，以便点评。待大多数学生都有了结果(a2－c2)x2+a2y2=a2(a2－c2) . 指出：此方程形式还不够简捷，还有变形的必要，

从而将方程简化为：

告诉学生:可以证明它就是椭圆的方程，我们称它为椭圆的标准方程。

x2y221ab02yba根据对称性，若焦点在轴上，则椭圆的标准方程是.两个焦点坐标F1c,0,F2c,0. MF1MF22a通过椭圆的定义及推导，给学生强调两个基本的等式：和b2c2a2

3. 例题讲解：

【例1】根据椭圆的标准方程，判断焦点的位置，并求其坐标（口答）：

（1）

；

（2）

；

（3）. 【例2】

已知:两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点（￣，），求椭圆的标准方程. （教师分析——学生演板——教师点评）

【例3】

在圆x2y24上任取一点P，向x轴作垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M的轨迹方程。轨迹是什么图形？

相关点法：寻求点M的坐标x,y与中间x0,y0的关系，然后消去x0,y0，得到点M的轨迹方程. （教师引导——示范书写）

4. 练习：P36 课本课后练习 1，3，4 5.知识小结：

（1）椭圆的定义（强调2a>|F1F2|）和椭圆的标准方程 （2）椭圆的标准方程有两种，注意区分 （3）根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法 （4）求椭圆标准方程的方法 三、作业：

1．必做题：教材P40 1，2，3 2．思考题：方程Ax2By21什么时候表示椭圆?什么时候表示焦点在x轴上的椭圆？什么时候表示焦点在y轴上的椭圆？

四、巩固练习：

x2y21，则这个椭圆的焦距是（

）

1.已知椭圆方程为2332

（A）6 (B) 3 (C) 35 (D)65

2

2.F1,F2是定点，且F1F26,动点M满足MF1MF26,则点M的轨迹是（ ）

（A）椭圆 （B）直线 （C）

圆 （D） 线段

x2y21上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，3.已知椭圆则P到另一焦2516点的距离为（ ）

（A） 2 (B) 3 (C) 5 (D) 7

五、板书设计

8.1椭圆及其标准方程

一、定义 二、标准方程 三、例题

(文字表述) (学生做

椭圆) (符号表述)

六、教案的设计说明：

数学教学是思维过程的教学，如何引导学生参与到教学过程中来，尤其是在思维上深层次的参与，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键.数学教学中的探究式对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非常重要的意义.本节借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新. 学生虽然对椭圆图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新，这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关.本节课从实例出发，设计了一对动点有规律的运动作一些理性的探索和研究. 在教材处理上，大胆创新，根据椭圆定义的特点，结合学生的认识能力和思维习惯在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取值范围.在标准方程的推导上，并不是直接给出教材中的“建系”方式，而是让学生自主地“建系”，通过所得方程的比较，得到标准方程，从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美.

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