信息技术应用 图形技术与函数性质课程导入及其完整教案

3.3.1函数的单调性与导数

授课教师 琚泽宏

一、教材分析

“函数单调性与导数”是高中数学（选修1-1）第三章导数及其应用的第三节，本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础. 由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性.通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性. 二、课时分配

本节内容用1课时完成，主要经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般、数形结合的数学思想，体现了数学问题研究的一般过程与方法。

三、教学目标

（1）重点： 利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. （2）难点： 1.探究函数的单调性与导数的关系; 2.如何用导数判断函数的单调性. （3）知识点：1.感受探索函数的单调性与导数的关系的过程; 2.理解并熟练掌握利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. （4）能力点：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法. 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力，体会数学问题研究一般遵循探究、发现、归纳、总结的方法步骤，渗透数形结合思想、特殊到一般思想. （5）教育点：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯.

（6）自主探究点：通过问题的探究，体会知识的类比迁移.以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法. （7）考试点：利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. （8）易错易混点：导数的正负决定函数的单调性，而不是导数的单调性决定函数的单调性.

教具准备：多媒体课件,直尺

课堂模式：探究启发式教学

四、教学过程

一.引入新课

师：生活中，例如宣城市延绵起伏的敬亭山和跳水运动员跳水中的运动状态和函数中的什么性质有关联？（并播放flash）

生：敬亭山山脉不断起伏，跳水运动员的高度是关于时间的一个二次函数，运动中可以分为上升和下降两部分。

师：

很好，在函数中，这种“上升”和“下降”称为什么？

生：

函数的单调性，分别是单调递增和单调递减。

师：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．前段时间我们一起学习了导数的定义和计算，我们知道函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢? 揭示并板书课题：函数的单调性与导数

师：我们先来回顾一下函数单调性的定义（让学生回答）

【设计意图】通过播放敬亭山照片、播放flash，复习回顾，巩固旧知.从生活中的景色、已学过的知识入手，提出新的问题（函数的单调性与导函数的正负的关系），更加贴近生活，引起认知冲突，激发学习的兴趣. 二．问题情境

师：如图（1）表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)h'(t)9.8t6.5图像

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

生：通过观察图像，可以发现：

（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增函数．相应地，v(t)h'(t)0．

（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t)是减函数．相应地，v(t)h(t)0．

【设计意图】从具体的实际情景出发，提出本节课要探索的问题，函数的单调性与导数的关系.为学生提供一个联想的“源”，巧妙设问，把学习任务转移给学生；让学生完成对函数单调性与导数关系的第一次认识，明确研究课题. 师：导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是'

变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？画出并观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

（1）函数yx的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数y/10；

（2）函数yx2的定义域为R，在(,)上单调递减，在(0,)上单调递增；

///而y2x，当x0时，其导数y0；当x0时，其导数y0；当x0时，其导/数y0．

（3）函数yx的定义域为R，在定义域上为增函数；

22/2而y3x，若x0，则其导数3x0，当x0时，其导数3x0；

31的定义域为(,0)(0,)，在(,0)上单调递减，在(0,)上单调x1//递减,而y2，因为x0,所以y0. x（4）函数y师：以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间(a,b)内,如果f(x)0，那/么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间/内单调递减. 对单调增函数的不等式关系进行适当的变形，让学生联想与导数的关联。

【设计意图】从具体的函数出发，让学生自己动手画出这些熟悉的函数，体会数形结合思想的运用.让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，降低思维难度，让学生在老师的引导下自主学习和探索，提高学习的成就感和自信心.

三. 合作交流，探求新知

师：请同学们在上面的函数相应的单调区间上任取一点并作出切线，f'(x0)表示函数f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率．观察这些切线的特征。

生：在xx0处，f'(x0)0，切线是“左下右上”式的，这时，函数f(x)在x0附近单调递增；

在xx1处，f/(x1)0，切线是“左上右下”式的，这时，函数f(x)在x1附近单调递减．

师：同学们说出的这些特点是所有函数的共性吗？下面我们一起来探究一下f(x)x的单调性与其导数正负的关系。

师生共同总结：函数的单调性与导数的关系: 在某个区间(a,b)内，如果f/(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f/(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减．

/说明：如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内是常函数．

1x【设计意图】通过导数的几何意义来验证由具体函数所得到的结论，形成一般性结论.让学生经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会函数单调性与导数的关系.合理地利用几何画板等数学工具能够帮助学生更直观的感受和理解函数的单调性与导数的关系，提高了教学效率和学习效果。

四．运用新知

例1、已知导函数f(x)的下列信息：

'当1x4时，f(x)0；

''当x4，或x1时，f(x)0；

当x4，或x1时，f(x)0

试画出函数yf(x)图像的大致形状．

'解：当1x4时，f(x)0，可知yf(x)在此区间内单调递增；

'

当x4，或x1时，f'(x)0；可知yf(x)在此区间内单调递减；

当x4，或x1时，f'(x)0，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．

综上，函数yf(x)图像的大致形状如图所示． 学生思考，并在纸上画出函数图像

y 0 1 4 x 教师反映若干学生的作业情况,学生共同分析.

【设计意图】让学生通过此题加深理解导函数是如何影响原函数的,这是今后利用

导函数研究函数的必备技能.这里让学生切实理解，为今后学习扫清障碍. 例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（根据时间合理选用） （1）f(x)x33x； （3）f(x)x22x3

（2）f(x)sinxxx(0,)； 解：（1）因为f(x)x33x，所以，

f(x)3x33(x1)0

因此，f(x)x3x在R上单调递增，如图1所示．

3'22

（2）因为f(x)x2x3，所以，

f(x)2x22x1

2'当f(x)0，即x1时，函数f(x)x2x3单调递增；

当f(x)0，即x1时，函数f(x)x2x3单调递减；

函数f(x)x2x3的图像如图2所示．

2'2'2

（3）因为f(x)sinxxx(0,)，所以，f'(x)cosx10

因此，函数f(x)sinxx在(0,)单调递减，如图3所示.

【设计意图】让学生初步体会用导数的方法确定函数单调性的简便

【师生活动】总结求yf(x)单调区间的步骤：

（1）确定函数yf(x)的定义域；

（2）求导数y'f'(x)；

（3）解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为增区间；

（4）解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为减区间．

练习：求下列函数的单调区间

（1）f(x)2xe1x

（2）f(x)3xlnx

五.课堂小结

（1）函数的单调性与导数的关系

（2）求解函数yf(x)单调区间

【设计意图】通过师生共同反思，优化学生的认知结构.

六. 作业布置

必做：课本93页练习题

思考题：

1、你可以利用今天所学的知识画出y322'x2x的大致图像吗？

lnx2、已知函数f(x)ax3xx1在R上是减函数，求a的取值范围.

【设计意图】体现了分层、有梯度的教学，学生动手练习,加强学生的应用意识. 五、板书设计

3.3.1、函数的单调性与导数

一．函数的单调性与导数正负的关系

三.例题

二.利用导数求单调性的步骤

例1.

例2．

四．随堂练习

五．课堂小结

六. 作业布置

六.教后反思