习题3.2第一课时评课稿

3.2向量法求距离

海口实验中学

黄杰

一、内容和内容解析

内容：向量法求距离

内容解析：这个内容是人教A版《数学选修2-1》第三章“空间向量与立体几何”的一节主题复习课。高考中常以棱柱、棱锥为载体，来考查空间距离的有关问题，而在各种距离问题中，求点到平面的距离是一个重点内容，而且线面距离、面面距离都可转化成求点到平面距离。

二、目标和目标解析

复习的目标是掌握向量法求点面距离的方法，并进行简单应用

1、

通过具体问题掌握求点到平面距离的三种常用方法，能根据题目条件特点选择恰当的方法求距离，能熟练运用向量法求点到平面的距离。

2、

通过自主训练，学生熟练掌握向量法求点到平面距离的过程，能将线面距离、面面距离转化成点面距离，体会向量法在解决立体几何问题中的优势。

3、

学生主动参与、合作交流，感受成功的体验，体会数学的乐趣。

三、教学问题诊断分析

在本节课之前，学生已经系统的学习空间向量与立体几何的有关知识，已经初步掌握这部分内容，能运用向量法解决一些简单的立体几何知识，所以通过知识点的复习勾起学生的记忆，并通过公式的推导加深学生对公式的理解和记忆。但在实际应用中，学生还不能快速的根据题目特征选择恰当的方法处理问题，教师对此需要启发和引导，帮助学生归纳总结解决这类问题的方法。立体几何题在书写格式上要求较高，而这部分正好是学生的薄弱环节，课堂上通过讲练结合的方式，提高学生书写格式的规范性。

四、教学支持条件分析

教学中利用多媒体及黑板展示一些图形，为学生提供直观材料，增强学生的空间立体感。

五、教学过程设计

1、复习三类常见求距离的求法

类型一

两点间的距离的求法

→公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则dAB＝|AB|＝（x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2.

类型二

点到直线的距离的求法

定义：因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点A到直线l的距离问题就是空间中某一个平面内的点到直线的距离问题，即过点A在该平面内做垂直于l的直线，垂足为A′，则AA′即为点A到直线l的距离.

类型三

点到平面的距离的求法

一点到它在一个平面内的投影的距离叫作这一点到这个平面的距离，如图所示，设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，则点B到平面α的距离d＝AB×nn.

2、求点到平面距离的方法有哪些？

通过例题的形式，帮助学生复***面距离的三种方法，分别是：（1）定义法，过已知点做平面的垂线；（2）等体积转化法；（3）向量法。

3、用向量法求点到平面距离的具体步骤是什么？

学生在教师的带领下，通过一个具体的例题，掌握向量法求距离的具体过程。

4、例题解析

例1、四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F、E分别为AD、PC的中点.求点E到平面PFB的距离. 解：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,2)、F(1,0,0)、B(2,2,0)、E(0,1,1),

FP=(-1,0,2),FB=(1,2,0),PE=(0,1,-1)设平面PFB的一个法向量n=(x,y,z),则

ì

ìx+2y=0n?FB0镲,Þ,眄

-x+2z=0镲îîn?FP0

令x=2,得y=-1,z=1.\n=(2,-1,1)

PE×n

26\点E到平面PFB的距离为

d===.3

6n

反思与感悟：本题是一个基本的点面距离的求解问题，要从几何角度作出这个距离有很大的困难，利用向量方法求解较为容易.

归纳总结：

利用向量法求点到平面的距离的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系.

(2)求出该平面的一个法向量.

(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量.

(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离.

5、跟踪训练

、如图，D1BCD与DMCD都是边长为2的正三角形，平面MCD^平面BCD,AB^平面BCD,AB=23,

求点A到平面MBC的距离.

解：如图，取CD的中点O，连接OB，OM，因为△BCD与△MCD均为正三角形，所以OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD. 以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.

因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，所以OB＝OM＝3，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，3)，B(0，－3，0)，A(0，－3，23)，

→→所以BC＝(1，3，0)，BM＝(0，3，3). 设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)，

→→BC＝0，n⊥BC，n·x＋3y＝0，由得即

→→3y＋3z＝0，BM＝0，n⊥BM，n·

取x＝3，可得平面MBC的一个法向量为n＝(3，－1,1). →又BA＝(0,0,23)，

→|BA·n|215所以所求距离为d＝＝. |n|5

2、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离. 解

如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，→→B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)，从而EF＝(2,2,0)，MN＝(2,2,0)，

→→AM＝(－2,0,4)，BF＝(－2,0,4)，

→→→→∴EF＝MN，AM＝BF，

又∵EF∩BF＝F，AM∩MN＝M，

∴EF∥MN，AM∥BF，

∴平面AMN∥平面EFBD. 设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，

→MN＝2x＋2y＝0，n·从而

→AM＝－2x＋4z＝0.n·x＝2z，解得

y＝－2z.

取z＝1，得n＝(2，－2,1)，

→∵AB＝(0,4,0)，

→∴AB在n上的投影为

→－8n·AB8＝＝－. |n|34＋4＋1→|n·AB|8∴两平行平面间的距离d＝＝. |n|3反思与感悟：线面距离、面面距离均可转化为点面距离，用求点面距离的方法进行求解.

6、课堂小结

本节课重点复习了用向量的方法求点到平面的距离，同时也解决了线面距离、面面距离。向量法求点面距离的步骤是：(1)建立空间直角坐标系。(2)求出该平面的一个法向量。(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量。(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离。空间立体几何的距离问题还有一种类型：点到直线的距离，将在下节课继续和学生一起复习。