3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计(第一课时)

3．1.4 空间向量的坐标表示

[对应学生用书P56]

空间向量的坐标表示

在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系(如图)，在x轴，y轴，z轴上分别取三个单位向量i，j，k. 问题1：用i，j，k表示AC，AD1. 提示：AC＝i＋j，AD1＝j＋k. 问题2：若AC1＝xi＋yj＋zk，则x，y，z为多少？与点C1的坐标有什么关系？

提示：∵AC1＝i＋j＋k，

∴x＝1，y＝1，z＝1，(x，y，z)＝(1,1,1)与C1的坐标相同．

在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k作为基向量．对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(x，y，z).

空间向量的坐标运算

一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉倒巨石，这三个力为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 0003 N. 问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？

提示：F＝(3 000,2 000,2 0003)．

问题2：巨石受到的合力有多大？

提示：|F|＝5 000 N.

1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R.

1

2．空间向量平行的坐标表示为

a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)．

3．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．

1．确定空间向量的坐标的方法：

(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标．

(2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标．

2．空间向量的坐标运算：

(1)向量的加减等于对应坐标的加减，其结果仍是向量．

(2)向量与实数相乘等于实数与其坐标分别相乘，其结果仍是向量．

[对应学生用书P57]

[例1] 如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AB＝1.求向量MN的坐标．

空间向量的坐标表示

[思路点拨] 以AB、AD、AP为单位正交基底建立空间直角坐标系，用AB、AD、AP表示MN，得其坐标．

[精解详析] ∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，

∴AB、AD、AP是两两垂直的单位向量．

设AB＝e1，AD＝e2，AP＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系A－xyz. 法一：∵MN＝MA＋AP＋PN

11＝－AB＋AP＋PC

22

2

11＝－AB＋AP＋(PA＋AC) 2211＝－AB＋AP＋(PA＋AB＋AD) 221111＝AP＋AD＝e2＋e3，

222211∴MN＝0，，. 22法二：

如图所示，连结AC、BD交于点O. 则O为AC、BD的中点．

11∴MO＝BC＝AD，

22ON＝AP，

1111∴MN＝MO＋ON＝AD＋AP＝e2＋e3，

22221211∴MN＝0，，. 22[一点通] 用坐标表示空间向量的解题方法与步骤：

1.已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出DB1，DE，DF的坐标．

解：设x、y、z轴的单位向量分别为e1，e2，e3，其方向与各轴上的正方向相同，

则DB1＝DA＋AB＋BB1

3

＝2e1＋2e2＋2e3，

∴DB1＝(2,2,2)．

∵DE＝DA＋AB＋BE＝2e1＋2e2＋e3，

∴DE＝(2,2,1)．

又∵DF＝e2，

∴DF＝(0,1,0)．

π2.在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，2在如图所示的空间直角坐标系中，求DO、A1B的坐标．

解：(1)∵DO＝－OD＝－(OO1＋O1D) 1＝－[OO1＋(OA＋OB)] 211＝－OO1－OA－OB. 22又|OO1|＝4，|OA|＝4，|OB|＝2，

∴DO＝(－2，－1，－4)．

(2)∵A1B＝OB－OA1＝OB－(OA＋AA1) ＝OB－OA－AA1. 又|OB|＝2，|OA|＝4，|AA1|＝4，

∴A1B＝(－4,2，－4)．

3．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(2,3，－1)，求p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标．

解：由已知p＝2a＋3b－c，

设p＝x

a＋y(a＋b)＋z(a＋b＋c) ＝(x＋y＋z)a＋(y＋z)b＋z

c. 由向量分解的惟一性，

x＋y＋z＝2，得y＋z＝3，z＝－1，

x＝－1，解得y＝4，z＝－1.

∴p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标为(－1,4，－1).

4

空间向量的坐标运算

[例2] 已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，

求：a＋b，a－b,3a＋2b. [思路点拨] 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似．

[精解详析] a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4) ＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2,2)．

a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4) ＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)．

3a＋2b＝3(2，－1，－2)＋2(0，－1,4) ＝(6，－3，－6)＋(0，－2,8)＝(6，－5,2)．

[一点通] 空间向量的加、减、数乘运算是今后利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活应用．

4．已知a＝(1，－2,4)，b＝(1,0,3)，c＝(0,0,2)．

求：(1)a－(b＋c)；

(2)4a－b＋2c. 解：(1)∵b＋c＝(1,0,5)，

∴a－(b＋c)＝(1，－2,4)－(1,0,5)＝(0，－2，－1)．

(2)4a－b＋2c＝(4，－8,16)－(1,0,3)＋(0,0,4) ＝(3，－8,17)．

5．已知O为原点，A，B，C，D四点的坐标分别为：A(2，－4,1)，B(3，2,0)，C(－2,1,4)，D(6,3,2)，求满足下列条件的点P的坐标．

(1)OP＝2(AB－AC)；

(2)AP＝AB－DC. 解：(1)AB－AC＝CB＝(3,2,0)－(－2,1,4)＝(5,1，－4)，

∴OP＝2(5,1，－4)＝(10,2，－8)，

∴点P的坐标为(10,2，－8)．

(2)设P(x，y，z)，则AP＝(x－2，y＋4，z－1)，

又AB＝(1,6，－1)，DC＝(－8，－2,2)，

∴AB－DC＝(9,8，－3)，

∴(x－2，y＋4，z－1)＝(9,8，－3)，

5

x－2＝9，∴y＋4＝8，z－1＝－3，

x＝11，解得y＝4，z＝－2.

所以点P的坐标为(11,4，－2).

[例3] 已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3，－1,2)，B(1,2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)，求证：四边形ABCD是一个梯形．

[思路点拨] 证明AB∥CD且AD不平行BC，或证AB∥CD且|AB|≠|CD|即可．

[精解详析] ∵AB＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，

∴－23－3＝＝，

4－66空间向量的平行

∴AB与CD共线，即AB∥CD，

又∵AD＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，

BC＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，

∴0－41≠≠，∴AD与BC不平行．

－2－1－2∴四边形ABCD为梯形．

[一点通]

利用空间向量的坐标运算证明线线平行时，应该遵循的步骤是：

(1)建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标；

(2)写出相应向量的坐标；

(3)证明两个向量平行；

(4)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一向量所在的直线上，从而证得线线平行．

6．设a＝(1,2，－1)，b＝(－2,3,2)．若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值．

解：∵ka＋b＝(k,2k，－k)＋(－2,3,2) ＝(k－2,2k＋3,2－k)，

a－3b＝(1,2，－1)－(－6,9,6)＝(7，－7，－7)．

∵(ka＋b)∥(a－3b)，

6

∴k－22k＋32－k7＝－7＝1，∴k＝－. －737.如图，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q、R分别是棱O1B1、AE的中点．

求证：PQ∥RS. 证明：如图，建立空间直角坐标系，

则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)．

∵PA＝2PA1，SB1＝2BS，

Q、R分别是棱O1B1、AE的中点，

42∴P3，0，，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S0，4，. 332于是PQ＝－3，2，＝RS.∴PQ∥RS. 3∵R∉PQ，∴PQ∥RS.

1．运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤：

(1)建立恰当的空间直角坐标系；

(2)求出相关点的坐标；

(3)写出向量的坐标；

(4)结合公式进行论证、计算；

(5)转化为几何结论．

2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．

[对应课时跟踪训练(二十一)]

1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝________. 解析：b＝a－(a－b)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．

答案：(2，－4,2) 2．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1,3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝

7

3k－j，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为________．

解析：由题意知点A对应向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，

故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8,3,12)．

答案：(8,3,12) 3．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,0，λ)，若a、b、c三个向量共面，则实数λ＝________. 解析：由a、b、c共面可得c＝xa＋yb，

7＝2x－y，∴0＝－x＋4y，λ＝3x－2y，答案：10 4．已知a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a∥b，则x＝_______________，

解得λ＝10. y＝________. 解析：∵a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，

又∵a∥b，显然y≠0，

2x13∴＝＝，

1－2y913∴x＝，y＝－. 6213答案：

－

6215．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且AC＝AB，则C点坐3标为________．

解析：设C点坐标(x，y，z)，则AC＝(x－4，y－1，z－3)．

∵AB＝(－2，－6，－2)，

2112∴AB＝(－2，－6，－2)＝－，－2，－，

3333∴y－1＝－2，2z－3＝－.3x－4＝－，

23

解得：y＝－1，7z＝3.x＝，103

107答案：(，－1，) 338

6．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，试建立适当的坐标系并写出向量MN，DC的坐标．

解：如图，因为PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以可设AD＝e1，AB＝e2，AP＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系A­xyz. 因为DC＝AB＝e2，

MN＝MA＋AP＋PN＝MA＋AP＋PC

11＝－AB＋AP＋(PA＋AD＋DC) 221111＝－e2＋e3＋(－e3＋e1＋e2)＝e1＋e3. 222211所以MN＝－，0，，DC＝(0,1,0)．

227．已知A、B、C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)、(－2,2,3)．求点P的坐标，使：

1(1)OP＝(AB－AC)；

21(2)AP＝(AB－AC)．

2解：AB＝(2,6，－3)，AC＝(－4,3,1)．

13(1)OP＝(6,3，－4)＝3，，－2，

22123则点P的坐标为3，，－2. 2(2)设P为(x，y，z)，则AP＝(x－2，y＋1，z－2) 13＝(AB－AC)＝3，，－2，

2211∴x＝5，y＝，z＝0，则点P的坐标为5，，0. 228. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，DA＝DC＝4，DD1＝3，点P是线段BD1上一动点，E是BC的中点，当点P在什么位置时，PE∥A1B?

解：以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，D1(0，0,3)．

∵E为BC的中点，

∴E(2,4,0)．

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∴A1B＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)，

BD1＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)，

EB＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．

设BP＝λBD1，则EP＝EB＋BP＝EB＋λBD1. ∵EB＝(2,0,0)，λBD1＝(－4λ，－4λ，3λ)，

∴EP＝(2－4λ，－4λ，3λ)．

由PE∥A1B，得EP∥A1B，

2－4λ＝0，∴－4λ3λ＝.－341∴λ＝. 2此时点P为BD1的中点．

故当点P为BD1的中点时，PE∥A1B.

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