1.1.2 简单组合体的结构特征教学设计及课堂实录

第2课时

旋转体与简单组合体的结构特征

学习目标

1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.3.了解简单组合体的概念及结构特征．

知识点一

圆

柱

思考

圆柱是比较常见的一类旋转体，那么，它是怎样形成的？

答案

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体．

梳理

圆柱

图形及表示

定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱

相关概念：

圆柱的轴：旋转轴

圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面

圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边

图中圆柱表示为圆柱O′O

知识点二

圆

锥

圆锥

定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体

相关概念：

圆锥的轴：旋转轴

圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面

母线：无论旋转到什么位置

，不垂直于轴的边

图中圆锥表示为圆锥SO

图形及表示

知识点三

圆

台

圆台

定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台

旋转法定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形绕旋转轴旋转一周而形成的旋转体叫做圆台

相关概念：

圆台的轴：旋转轴

圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面

圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面

母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边

知识点四

球

球

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球

相关概念：

球心：半圆的圆心

半径：半圆的半径

直径：半圆的直径

知识点五

简单组合体

(1)概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成的．

(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．

1．直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．(×) 2．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．(√) 3．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．(×) 4．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．(×)

图中的球表示为球O

图形及表示

图中圆台表示为：圆台O′O

图形及表示

类型一

旋转体的结构特征

例1

下列说法正确的是________．

①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；

④半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；

⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．

考点

空间几何体

题点

空间几何体结构应用

答案

③④⑤

解析

①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；②它们的底面为圆面；③④⑤正确．

反思与感悟

(1)判断简单旋转体结构特征的方法

①明确由哪个平面图形旋转而成．

②明确旋转轴是哪条直线．

(2)简单旋转体的轴截面及其应用

①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．

②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．

跟踪训练1

下列说法，正确的是(

) ①圆柱的母线与它的轴可以不平行；

②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；

③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的．

A．①②

B．②③

C．①③

D．②④

考点

空间几何体

题点

空间几何体结构应用

答案

D 解析

由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．

类型二

简单组合体

例2

直角梯形ABCD如图所示，分别以CD，DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状．

考点

简单组合体的结构特征

题点

与旋转有关的组合体

解

以CD为轴旋转可得到一个圆台，下底挖去一个小圆锥，上底增加一个较大的圆锥，以AD为轴旋转可得到一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示．

引申探究

本例中直角梯形分别以AB，BC所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状．

解

以AB为轴旋转可得到一个圆台，以BC为轴旋转可得一个圆柱和圆锥的组合体，如图所示．

反思与感悟

(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．

(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．

跟踪训练2

将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括(

) A．一个圆台、两个圆锥

C．两个圆台、一个圆柱

考点

简单组合体的结构特征

题点

与旋转有关的组合体

答案

D 解析

图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥．

B．两个圆柱、一个圆锥

D．一个圆柱、两个圆锥

类型三

旋转体的有关计算

例3

一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：

(1)圆台的高；

(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．

考点

圆台的结构特征

题点

与圆台有关的运算

解

(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．

由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm. 又由题意知腰长为12 cm，

所以高AM＝122－5－22＝315(cm)．

(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，

设截得此圆台的圆锥的母线长为l，

则由△SAO1∽△SBO，可得解得l＝20(cm)．

即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 反思与感悟

用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．

跟踪训练3

有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．

考点

圆柱的结构特征

题点

与圆柱有关的运算

解

把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图所示)，

l－122＝，

l5

由题意知BC＝3π cm，AB＝4π

cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．

AC＝AB2＋BC2＝5π cm，故铁丝的最短长度为5π cm.

1．下列几何体是台体的是(

)

考点

圆

台的结构特征

题点

圆台的概念的应用

答案

D 解析

台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行．C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确．

2．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图1中的几何体的是(

)

图1

考点

简单组合体的结构特征

题点

与旋转有关的组合体

答案

B 解析

由题意知，所得几何体是组合体，上、下各一圆锥，故B正确．

3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是(

) A．圆柱

C．球体

考点

棱台的结构特征

题点

棱台的概念的应用

答案

D B．圆台

D．棱台

解析

圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出三角形．只有棱台可以截出三角形，故选D. 4．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的母线长为________．

考点

圆锥的结构特征

题点

与圆锥有关的运算

答案

2 解析

如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝323AB，∴3＝AB2，∴AB＝2.故圆锥的母线长为2. 44

5．一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？旋转360°又得到什么图形？

考点

圆锥的结构特征

题点

圆锥的概念的应用

解

(1)，(2)旋转一周得到的几何体是圆锥；

图(3)旋转一周所得几何体是两个圆锥拼接而成的几何体；

图(4)旋转180°是两个半圆锥的组合体，旋转360°，旋转轴左侧的直角三角形旋转得到的圆锥隐藏于右侧直角三角形旋转得到的圆锥内．

1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．

2．球面、球体的区别和联系

球面

球体

3.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．

4．处理组合体问题常采用分割思想．

5．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．

区别

球的表面是球面，球面是旋转形成的曲面

球体是几何体，包括球面及所围的空间部分

联系

球面是球体的表面

一、选择题

1．下列几何体中不是旋转体的是(

)

考点

简单组合体的结构特征

题点

与旋转有关的组合体

答案

D 2．下列说法正确的是(

) A．到定点的距离等于定长的点的集合是球

B．球面上不同的三点可能在同一条直线上

C．用一个平面截球，其截面是一个圆

D．球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面

考点

球的结构特征

题点

球的概念的应用

答案

D

解析

对于A，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A错；对于B，球面上不同的三点一定不共线，故B错；对于C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C错，故选D. 3.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(

)

A．一个球体

B．一个球体中间挖去一个圆柱

C．一个圆柱

D．一个球体中间挖去一个长方体

考点

简单组合体的结构特征

题点

与旋转有关的组合体

答案

B 解析

圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱. 故选B.

4．如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的(

)

考点

简单组合体的结构特征

题点

与旋转有关的组合体

答案

A 解析

此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面图形旋转而形成的．

5．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为(

) A．103 cm B．203 cm C．20 cm D．10 cm

考点

圆锥的结构特征

题点

与圆锥有关的运算

答案

A 解析

如图所示，在Rt△ABO中，

AB＝20 cm，∠A＝30°，

所以AO＝AB·cos 30°＝20×3＝103(cm)．

26．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是(

)

A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的

B．该几何体有12条棱、6个顶点

C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形

D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形

考点

简单组合体的结构特征

题点

与拼接、切割有关的组合体

答案

D 解析

其中ABCD不是面，该几何体有8个面．

7．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为(

) 32168A．32

B.

C.

D.

πππ考点

圆柱的结构特征

题点

与圆柱有关的运算

答案

B 解析

如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以42r＝；同理，若矩形的宽4为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝，

ππ

4832当r＝时，其轴截面的面积为×4＝，

πππ2432当r＝时，其轴截面的面积为×8＝，故选B. πππ8.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，则截面图形为(

)

考点

轴截面、截面的应用

题点

旋转体的轴截面、截面应用

答案

C 解析

截面图形应为图C所示的圆环面．

9．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的(

)

考点

简单组合体的结构特征

题点

与旋转有关的组合体

答案

C 解析

易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A、D；等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B；而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是C. 二、填空题

10．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________．

考点

简单组合体的结构特征

题点

与旋转有关的组合体

答案

两个同底的圆锥组合体

解析

由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．

11．如图中的组合体的结构特征有以下几种说法：

①由一个长方体割去一个四棱柱构成；②由一个长方体与两个四棱柱组合而成；③由一个长方体挖去一个四棱台构成；④由一个长方体与两个四棱台组合而成．

其中说法正确的序号是________．

考点

简单组合体的结构特征

题点

与拼接、切割有关的组合体

答案

①②

12．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________．

考点

圆锥的结构特征

题点

与圆锥有关的运算

答案

3 解析

由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl2，所以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径为r＝1，所以该圆锥的高为h＝l2－r2＝22－12＝

3. 三、解答题

13．已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长．

考点

圆锥的结构特征

题点

与圆锥有关的运算

解

作出圆锥的一个纵截面如图所示，

其中AB，AC为母线，BC为底面圆直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线，设正方体的棱长为x，

则DG＝EF＝x，DE＝GF＝2x，依题意，得△ABC∽△ADE，

∴h2r2rh＝，∴x＝. h－x2xh＋2r四、探究与拓展

14．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．

考点

简单组合体的结构特征

题点

与拼接、切割有关的组合体

解

(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．

(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．

(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．

15．圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：

(1)绳子的最短长度；

(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．

考点

圆台的结构特征

题点

与圆台有关的运算

解

(1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM的长度，

设OB＝l，则θ·l＝2π×5，θ·(l＋20)＝2π×10，

π解得θ＝，l＝20 cm. 2∴OA＝40 cm，OM＝30 cm. ∴AM＝OA2＋OM2＝50 cm. 即绳子最短长度为50 cm. (2)作OQ⊥AM于点Q，交弧BB′于点P，则PQ为所求的最短距离．

∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24 cm. 故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.