阅读与思考 圆周率π优秀教学实录

以圆为背景的相似三角形的计算与证明教学设计

一．教学目标

1、能通过找到圆中的角相等，利用“两个角相等的三角形是相似三角形”的判定方法找到两个三角形相似，并解决相关的计算与证明的问题。

2、通过对复杂图形的提炼提高识图能力，通过建模简化思维过程，提高对复杂问题的处理能力。

3、通过各类方法的归纳和总结，形成解决以圆为背景的相似三角形的计算与证明的相关方法。经历通过自己的分析和归纳，找到解决数学问题的方法和技巧的整个思维过程，参与到数学活动中来，提升自己的数学解题、归纳和总结的能力。

二．教学重点

1、熟悉在圆中找到相似三角形的基本方法，利用相似三角形的性质与判定解题。

2、提升“从已知看可知，从问题看需知”的思维能力。

三．教学难点

1、如何想到要利用相似三角形去解决实际问题，要找的目标相似三角形是哪一对。

2、如何通过添加辅助线，构造相似三角形解决实际问题的思维形成过程。

四．教学过程设计

（一）、知识再现，基础落实

快速完成下列题目，针对题目引导学生发现相似三角形的基本图形。

1、如图，PC与⊙O相切于点C，连接PO并延长与⊙O相交于点A、B。若∠PCB＝30°，则∠P=

，∠A=

。

2、如图，AB是⊙O的直径，C在⊙O上，CD⊥AB于点D。若AB=10，BC=6。则CD=

，BD=

。

提炼方法：在圆中找相似三角形主要方法是找两个角相等。

（二）、典例变式，重点突破

1、出示例1.

如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，AD=5，BD=2，则DE的长为

。

学生思考后让学生回答解题过程，提炼方法：找到相似三角形要能够利用性质写出成比例线段进行计算。

2、变式训练1、在例1图的基础上，连结CD,延长AC，BD，相交于点F，图中新出现的相似三角形是哪些？

3、变式训练2、在⊙O中，直径AH恰好垂直于弦BD，垂足为G，若FC=4，AC=5，FD=3 ，则cosF=

. 方法提炼：如何分析问题进而解决问题，可以“从已知看可知，从问题看需知”，不一定一次直接得到所求的结果，学会将问题“细微化”处理。

（三）、直击中考，能力提升

例题2、（2018年中考模拟题）如图PB为⊙O的切线，B为切点，过点

B作BA⊥OP，垂足为点C（PC＞OC）交⊙O于点A，连接PA、AO并延长AO交⊙O于点E，交PB的延长线于点D。

（1）

求证：PA是⊙O的切线。

（2）

若PO=13，AC=6，求PB的长。

（3）

在（2）的条件下，求tanD的值。

方法提炼：通过一题多解训练学生多角度看图的能力，提升数学素养，培养探究兴趣。

（四）、课堂整理，归纳小结

一类题目——在圆中利用相似三角形性质和判定进行计算与证明

两条思路——从已知条件出发，从要求问题出发

三种模型——切线模型、射影定理模型、公共角模型

万能钥匙——抓图形特征，随“题”应变

（五）、课后落实，自我评测

（2017年广东省卷题24）如图，AB是⊙O的直径，AB＝43，点E为线段OB上一点(不与O、B重合)，作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB. (1)求证：CB是∠ECP的平分线；

(2)求证：CF＝CE；

︵CF3(3)当＝时，求劣弧BC的长度(结果保留π)．

CP4要求第3问至少用两种不同的方法解答。