正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系教学实录及点评

教学目标：

（1）了解用量角器等分圆心角来等分圆；掌握用尺规作圆内接正方形和正六边形，能作圆内接正八边形、正三角形、正十二边形；

（2）通过画图培养学生的画图能力；

（3）对学生进行审美教育，提高学生的审美能力，促进学生对几何学习的热情．

教学重点：

(1)量角器等分圆心角来等分圆；

(2)尺规作圆内接正方形和正六边形．

教学难点：

准确作图．

教学活动设计：

（一）提出问题：

由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一．

问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形．

教师组织学生进行，方法不限．

目的：充分发展学生的发散思维．

（二）解决问题：

以下为解决问题的参考方案：(上课时教师归纳学生的方法)

(1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．

②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．

(2)尺规法：（如上右图）用圆规在⊙O上截取长度等于半径（2cm）的弦，连结AB、BC、CA即可．

(3)计算与尺规结合法：由正三角形的半径与边长的关系可得，正三角形的边长=用圆规在⊙O上截取长度为2（cm）的弦AB、AC，连结AB、BC、CA即可．

R=2（cm），

（三）研究、归纳

1、用量角器等分圆：

依据：等圆中相等的圆心角所对应的弧相等．

操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大．

问题2：把半径为2cm⊙O九等份．

（先画半径2cm的圆，然后把360°的圆心角9等份，每一份40°）

归纳：用量角器等分圆，方法简便，可以把圆任意n等分，但有误差．

2、用尺规等分圆：

（1）问题3：作正四边形、正八边形．

教师组织学生，分析、作图．

归纳：只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……

（2）问题4：作正六、三、十二边形．

教师组织学生，分析、作图．

归纳：先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画．

（四）总结

（1）用量角器等分圆周作正n边形；

（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形．

（五）作业

教材P173中13．

教学设计示例2

教学目标：

1、能应用画正多边形解决实际问题；会画正五边形的近似图；了解等分圆的美丽图形；

2、通过运用正多边形的有关计算和画图解决实际问题培养学生分析问题、解决问题的能力；

3、对学生进行审美教育和文化传统教育和爱国教育；

4、渗透数学建模思想．

教学重点：

应用正多边形的计算与画图解决实际问题．

教学难点：

数学模型的建立，和正多边形的有关计算问题．

教学活动设计：

（一）知识回顾：

分别画半径2cm的圆内接正六边形、内接正三角形、内接正十二边形、内接正方形、内接正八边形．

要求①尺规作图；②说明画法；③指出作图依据；④学生独立完成．

教师巡视，对画的好的学生给于表扬，对有问题的学生给于指导．

（二）画图应用：

例1、有一个亭子，它的地基是半径为4m的正八边形，(1)用1∶200的比例尺画出地基平面图；(2)求地基的边长a8(精确到0.01m)和面积S8(精确到0.1m2)

教师引导学生分析：①比例尺=

；②正八边形的半径R=2cm；③如何解正八边形和近似计算．

（⊙O(如图)．

1）画法：1．以任意一点O为圆心，以4m的

，即2cm为半径画

2．作⊙O的直径AC、BD，使AC⊥BD．

3．作平分

、的直径EG、FH．

4．顺次连结AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA．

八边形AEBFCGDH就是亭子地基的正八边形．

（2）解（学生分析解题方法）：

（m）

（m）

（m2）

答：（略）

我国民间相传有五边形的近似画法，画法口诀是：“九五顶五九，八五两边分”，它的意义如图：如果正五边形的边长为10，作它的中垂线AF，取AF=15.4，在AF上取FM=9.5，则AM=5.9，过点M作BE⊥AF，在BE上取BM=ME=8．连结AB、BC、DE、EA即可．

例2、用民间相传画法口诀，画边长为20mm的正五边形．

分析：要画边长20mm的正五边形，关键在于计算出口诀中各部分的尺寸，由于要画的正五边形与口诀正五边形相似，所以要画的正五边形的各部分应与口诀正五边形各部分对应成比例．由已知知道要画正五边形的边CD=20mm．请同学们算出各部分的尺寸，并按口诀画出正五边形ABCDE．

（画法：略．参看教材P170）

说明：虽然这种画法是近似画法，但是这种画法的精确度却是很高的．有能力的学生课下可以探究和计算．

通过正五边形的民间近似画法的教学弘扬民族文化，揭示其科学性，渗透实践出真知的观点．

（三）优美图案欣赏和画法：

请学生欣赏下列图案，分析图案结构，画出图案．

组织学生进行，可以让学生独立完成，也可以让学生协作完成，对画的较好的同学给予表彰．

（四）总结

1、运用正多边形的知识解决实际问题；

2、学习了民间画正五边形的近似画法；

3、学习了分解与组合有关正多边形的几何图案．

（五）作业

教材P171中练习1；P173中12；P173中14．