等式的性质与方程的简单变形课堂实录【3】

7．4 实践与探索

教学目标

一、基本目标

在运用方程解决实际问题的过程中，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．

二、重难点目标

【教学重点】

让学生在实践与探索中，运用二元一次方程组解决实际问题．

【教学难点】

用方程(组)这样的数学模型刻画和解决实际问题，即数学建模的过程．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P42～P43的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．夏季来临，某超市试销A、B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A、B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为

(

C

) x＋y＝5300A.

200x＋150y＝30x＋y＝5300B.

150x＋200y＝30x＋y＝30C.

200x＋150y＝5300x＋y＝30D.

150x＋200y＝53002x－y＝3，2．已知二元一次方程组则x－y等于

(

B

) 3x－4y＝3，

A．1.1

C．1.3

B．1.2

D．1.4 x＋y＝－7，x＝－2，3．方程组的解是. 2x－y＝1y＝5

环节2

合作探究，解决问题

1

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】(教材P42问题1)要用20张白卡纸做长方体的包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张白卡纸可以做2个侧面，或者做3个底面．如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，那么如何分才能使做成的侧面和底面正好配套？

【互动探索】(引发学生思考)想一想，如果可以将一张白卡纸裁出一个侧面和一个底面，那么，该如何分这些白卡纸，才能既使做出的侧面和底面配套，又能充分利用白卡纸？

【解答】设用x张白卡纸做侧面，用y张白卡纸做底面．

x＋y＝20，根据题意，得

2×2x＝3y，

x＝87，解得3y＝117.4

由于解为分数，所以若白卡纸不能套裁，则最多能做成16个包装盒；若可以套裁，用8张做侧面，11张做底面，另一张套裁出1个侧面，1个底面，则共可做侧面17个，底面34个，正好配成17个包装盒，较充分地利用了材料．

【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，还需注意本题的等量关系是：底面数量＝侧面数量的2倍．

【例2】已知用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货共19吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货共21吨．

(1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次分别可以运货多少吨？

(2)某物流公司现有49吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．

①求m、n的值；

②若A型车每辆需租金130元/次，B型车每辆需租金200元/次．请求出租车费用最少是多少元？

【互动探索】(引发学生思考)(1)根据3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货＝10吨；2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货＝11吨，列出方程组即可解决问题．(2)①由题意得到3m＋5n＝49，根据m、n均为正整数，即可求出m、n的值．②求出每种方案下的租金数，经比较、分析，即可解决问题．

【解答】(1)设1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次分别可以运货x吨，y吨．

3x＋2y＝19，根据题意，得

2x＋3y＝21，

2

x＝3，解得

y＝5.

即1辆A型车一次可以运货3吨，1辆B型车一次可以运货5吨．

(2)①由(1)和题意可得，3m＋5n＝49，

49－5n5n－1∴m＝＝16－. 33∵m、n都是正整数，

m＝13，m＝8，m＝3，∴或或

n＝2，n＝5，n＝8.

②∵A型车每辆需租金130元/次，B型车每辆需租金200元/次，

∴当m＝13，n＝2时，需租金为130×13＋200×2＝2090(元)；

当m＝8，n＝5时，需租金为130×8＋200×5＝2040(元)；

当m＝3，n＝8时，需租金为130×3＋200×8＝1990(元)．

∵2090＞2040＞1990，

所以租车费用最少的是1990元．

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了列二元一次方程组和用二元一次方程来解决现实生活中的实际问题．解题的关键是深入把握题意，准确找出命题中隐含的数量关系，正确列出方程或方程组来分析、推理、解答．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有

(

B

) A．4种

C．2种

B．3种

D．1种

2．(教材P42问题2变式)如图，八个大小相同的小长方形可拼成下面两个大长方形，拼成图2时，中间留下了一个边长为1的小正方形，则每个小长方形的面积是

(

C

)

A．12

C．15

B．14 D．16 3．如图所示，已知前两架天平两端保持平衡．要使第三架天平两端保持平衡，则应在天平的右托盘上放3个圆形物品．

3

4．一座铁桥长1000米，有一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥，共用了1分钟．整列火车完全在桥上的时间为40秒(从车尾上桥到车头即将下桥)，求这列火车的速度和长度．

解：设火车的速度为v米/秒，火车长为l米．

60v＝1000＋l，根据题意，得

40v＝1000－l，v＝20，解得

l＝200.

即火车的长度为200米，速度为20米/秒．

活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】某人乘汽车，他看到第一块里程碑上写着一个两位数(表示千米)；经过1小时，他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过1小时，他看到第三块里程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，问汽车的速度是多少？

【互动探索】假设这个两位数的个位数字是x，十位数字是y，汽车的速度为z千米/小时，那么这个两位数数值就是10y＋x，则1小时后站牌上的数值是10x＋y，又经过1小时，他看到第三块里程碑上数值是100y＋x，所以可列方程(10x＋y)－(10y＋x)＝z与(100y＋x)－(10x＋y)＝z，求得x与y的比例关系，再通过数字x、y满足0≤x≤9,1≤y≤9，确定出x、y的取值，代入即可求得z的值．

【解答】设这个两位数的个位数字是x，十位数字是y，汽车的速度为z千米/小时．

10x＋y－10y＋x＝z，①由题意，得

100y＋x－10x＋y＝z，②9x－y＝z，③化简，得

911y－x＝z.④

x－y由③÷④，得＝1，即x＝6y. 11y－x又∵0≤x≤9,1≤y≤9，且x、y为整数，

∴x只能取6，y＝1，

∴z＝9×(6－1)＝45.即汽车的速度是45千米/小时．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是根据题目的具体说明，列出方程

4

组，求得数字x、y之间的关系．另外注意题目中的隐含条件，数字x、y满足0≤x≤9,1≤y≤9，且x、y为整数．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 列二元一次方程组解应用题的步骤：

(1)审清题意，弄清各个量之间的关系，找出等量关系；

(2)设未知数；

(3)列出方程，联立方程，得二元一次方程组；

(4)解二元一次方程组；

(5)作答．

练习设计

请完成本课时对应练习！

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