小结教学目标设计

圆的有关位置关系

教学设计

一、教材分析

1、《点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系》是圆这一章的基础知识，这节课直接关系着圆的其它知识的学习，所以它在教材中占有重要的地位。另外，本节课通过“观察——猜想——合作交流——概括、归纳”的途径，运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类、类比、化归等数学思想，有助于培养学生思维的严谨性和深刻性。因此，这节课无论从知识上，还是在培养学生的能力方面都起着至关重要的作用。

二、教学目标设计

1、知识与技能

: 使学生理解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，进一步培养学生的观察、分析能力及提高他们的思维品质。

2、过程与方法: 教师所创设创设情境，激发学生的求知欲望，使学生经历操作、观察、发现、总结出与圆有关位置关系，收获新知，体会数形结合、分类的数学思想。

3、情感、态度与价值观:让学生在积极参与数学活动的过程中，体会运动变化的观点，感受数学中的美感。

三、重点、难点

1、重点：探索并了解点与圆的位置关系、直线与圆、圆和圆的位置关系。

2、难点:探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系。

3、重难点的突破：借助多媒体现代教学手段，提供直观形象的画面，展示两圆的运动变化过程，突破教学难点，体现教学重点。

四、教学过程

1. 点与圆的位置关系

点与圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况，这三种情况，与点到圆心的距离（d）、圆的半径（r）之间有着紧密的联系。也就是说：点与圆的位置关系，不仅可以用图形来表现，还可以由数量关系来表示，其对应关系可简明地表示如下：

图形（点与圆）的位置数量（d与r）的大小关关系

点在圆内

点在圆上

点在圆外

系

d＜r d＝r d＞r

2. 直线与圆的位置关系的性质与判定

设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表：

位置关系

图形

1 2

相离

相切

相交

公共点个0

数

数量关系

d＞r d＝r d＜r

3. 三角形内心与外心的区别

图形

名称

确定方法

性质

外心（三角三角形三边①OA＝OB＝OC；②形外接圆的垂直平分线外心不一定在三角

圆心）

的交点

形的内部

内心（三角三角形三个①OD＝OE＝OF；②形内切圆的内角的平分OA、OB、OC分别平

圆心）

线的交点

分∠BAC、∠ABC、∠ACB

4. 两圆的位置关系、数量关系及识别方法

设两圆的半径分别为R和r，圆心距（圆心间的距离）为d。

位置关系

外离

图形

公共点个数

R、r与d的关系

0

外切

1 dRr

dRr

相交

2 RrdRr

内切

1 dRr

内含

0 dRr

上表中，两圆内含时，如果d＝0，则两圆同心，这是内含的一种特殊情况。

五、【典型例题】

例1.

⊙O的半径为2.5，动点P到定点O的距离为2，动点Q到P点距离为1。问：P点、Q点和⊙O是什么位置关系？为什么？

解：∵PO＝2＜2.5

∴P点在⊙O内部

Q点和O点的距离较复杂，如下图，需分类讨论。

当Q点在OP延长线上时，则Q点和O点距离最大，最大距离为

213。

当Q点在OP上时，则Q点和O点距离最小，最小距离为211。

当Q点处在Q1点和Q2点时，则QO2.5，如上图所示。

综上所述，Q点既可能在⊙O上，也可能在⊙O外，或在⊙O内。

例2.

在平面直角坐标系xOy中，当以点O'（4，3）为圆心的圆分别满足下列条件时，求其半径r的取值范围。

（1）与坐标轴有惟一交点。

（2）与坐标轴有两个交点。

（3）与坐标轴有三个交点。

（4）与坐标轴有四个交点。

解：如下图，由题意，圆心O'到x轴的距离dx3，到y轴的距离dy4。

（1）∵⊙O'与坐标轴有惟一公共点

∴只可能与x轴有惟一公共点

rdx3

（2）由条件知，⊙O'与x轴相交，但与y轴无公共点

3r4

（3）∵⊙O'与坐标轴有三个交点

∴⊙O'与x轴必相交且与y轴必有公共点

若⊙O'与y轴有惟一公共点，则r＝4

若⊙O'与y轴有两个公共点，则其中一个公共点必为原点，故r＝5。

∴所求r的值为r＝4或r＝5

（4）∵⊙O'与坐标轴有四个交点

∴⊙O'与两坐标轴都相交，且不过原点

∴r＞4且r≠5

例3. 如图所示，已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B。OC平行于弦AD，试说明：DC是⊙O的切线。

解：连结OD

因为OA＝OD，所以∠1＝∠2

又因为AD∥OC，所以∠1＝∠3，∠2＝∠4

因此∠3＝∠4

而OB＝OD，OC公共，于是将△OBC沿OC翻折可与△ODC重合

所以∠ODC＝∠OBC

又BC是⊙O的切线，所以∠OBC＝90°

从而∠ODC＝90°，OD⊥DC，故DC是⊙O的切线

例5. 如下图，AB是半圆⊙O的直径，C为半圆上一点，CD切⊙O于点C，AD⊥CD于点D，⊙C以CD为半径。

求证：AB是⊙C的切线。

分析：要证AB是⊙C的切线，就是要证点C到AB的距离CE＝CD。即要证△ACD和△ACE全等。

证明：过点C作CE⊥AB于点E，连结AC、BC、OC

∵CD是⊙O的切线，AB是⊙O的直径

∴CD⊥OC，AC⊥BC

∠ACD∠ACO90，∠ACO∠OCB90∠ACD∠OCB∠OCB∠B，∠B∠BAC90∠ACE∠BAC90

∠ACD∠B∠ACE

在△ACD和△ACE中

∵∠CDA∠CEA90，∠ACD∠ACE，ACAC

∴△ACD≌△ACE

∴CE＝CD ∴AB是⊙C的切线

六、练习：（每小题2分，共12分）

1、

如图所示，AB是⊙O的直径，AB＝AC，AC是⊙O的切线，A是切点，则∠B＝____________。

2、如图所示，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝30°，则∠CAB＝__________。

3、

△ABC的内切圆⊙O与AC，AB，BC分别相切于点D，E，F，且AB＝4，BC＝8，AC＝6，则AE＝_________，BF＝_________，CD＝_________。

4、

如图所示，已知⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∠B＝50°，∠C＝40°，则∠DOF＝_________，∠DEF＝_________。

5、

⊙O的半径为3cm，若⊙O'与⊙O外切时，圆心距为10cm，则⊙O'与⊙O内切时，圆心距为_________cm。

6、

如图所示，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC2，BC1，若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于P，则AP＝__________。

七、作业

1、

如图所示，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且DB＝BO，过点A作弦AC，使∠CAB＝30°，连结DC，DC是⊙O的切线吗？为什么？

2、

如图所示，AC为⊙O的直径，PA，PB是⊙O的切线，OP交AB于点E，交AB于点F，∠CAB＝30°，AC＝8cm。求：

（1）∠APB的度数；

（2）OP的长；

（3）PE的长；

（4）△ABP的面积。