直角三角形的性质与判定教学设计

直角三角形的性质与判定

学情分析

直角三角形全等的条件和勾股定理及其逆定理在前面已由学生通过一些直观的方法进行了探索,所以学生对这些结论已经有所了解,对于它们,教科书努力将证明的思路展现出来.例如以前我们曾用割补法验证过勾股定理,而此处对勾股定理的证明应以我们认定的几条公理和由此推出的定理为依据进行,虽然证明的方法有多种,但对学生来说,这些都有难度,因此教科书将其两种证明方法放在“读一读’’中,供有兴趣的学生阅读,不要求所有学生掌握,其逆定理的证明方法对学生来说也是有一定难度的

教学目标

1.知识目标: (1)掌握直角三角形的性质定理(勾股定理)及判定定理的证明方法,并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

(2)结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立. 2.能力目标: (1)进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维. (2)进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理的能力. 3.教学重点、难点

重点

①了解勾股定理及其逆定理的证明方法. ②结合具体例子了解逆命题的概念,识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立. 难点

勾股定理及其逆定理的证明方法.

教学过程 3.1 第一学时 3.1.1创设情境，引入新课

通过让学生做书上18页的第2题。,让学生在解决问题的同时,回顾直角三角形的一般性质。

一个直角三角形房梁如图所示,其中BC⊥AC, ∠BAC=30°,AB=10 cm,CB1⊥AB,B1C⊥AC1,垂足分别是B1、C1,那么BC的长是多少? B1C1呢?

在Rt△ABC中,∠CAB=30°,AB=10 cm,

∴BC=0.5AB=5 cm.

∵CBl⊥AB,∴∠B+∠BCBl=90°

又∵∠A+∠B=90°

∴∠BCBl=∠A=30°

在Rt△BCBl中,BBl=0.5BC=2.5 cm.

∴AB1=AB-BBl=10-2.5=7.5cm.

∴在Rt△ABlC1中,∠A=30°

∴B1C1=0.5ABl=3.75cm. 解决这个问题,主要利用了上节课已经证明的“30°角的直角三角形的性质”.由此提问:“一般的直角三角形具有什么样的性质呢?”从而引入勾股定理及其证明。

3.1.2讲述新课

教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.实际上利用基本事实和已有定理,我们能够有好多种证明勾股定理的方法。

(1).勾股定理及其逆定理的证明. 已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c. 求证:a2+b2=c2. 证明:延长CB至D,使BD=b,作∠EBD=∠A,并取BE=c,连接ED、AE(如图),则△ABC≌△BED. ∴∠BDE=90°,ED=a(全等三角形的对应角相等,对应边相等). ∴四边形ACDE是直角梯形. ∴S梯形ACDE=(a+b)(a+b) = (a+b)2. ∴∠ABE=180°-(∠ABC+∠EBD)=180°-90°=90°, AB=BE.

∴S△ABE=c2 ∵S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED, ∴(a+b) 2= c2 + ab + ab, 即a2 + ab + b2=c2 + ab, ∴a2+b2=c2 3.1.3议一议

观察上面两个定理,它们的条件和结论之间有怎样的关系? 通过观察,学生会发现: 上面两个定理的条件和结论互换了位置,即勾股定理的条件是第二个定理的结论,结论是第二个定理的条件. 这样的情况,在前面也曾遇到过.例如“两直线平行,内错角相等”,交换条件和结论,就得到“内错角相等,两直线平行”.又如“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边就等于斜边的一半”.交换此定理的条件和结论就可得“在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°”。

观察下面三组命题:学生以分组讨论形式进行,最后在教师的引导下得出命题与逆命题的区别与联系。

让学生畅所欲言,体会逆命题与命题之间的区别与联系,要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论,能够将一个命题写出“如果……;那么……”的形式,以及能够写出一个命题的逆命题。

活动中,教师应注意给予适度的引导,学生若出现语言上不严谨时,要先让这个疑问交给学生来剖析,然后再总结。活动时可以先让学生观察下面三组命题: 如果两个角是对顶角,那么它们相等. 如果两个角相等,那么它们是对顶角. 如果小明患了肺炎,那么他一定发烧. 如果小明发烧,那么他一定患了肺炎. 三角形中相等的边所对的角相等. 三角形中相等的角所对的边相等. 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流. 不难发现,每组第二个命题的条件是第一个命题的结论,第二个命题的结论是第一个命题的条件. 在两个命题中,如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题, 一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题,如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

提问:一个命题为真,那么它的逆命题也一定是真的吗?每个定理都有逆定理吗?

1、如果两个角是对顶角,那么它们相等.如果两个角相等,那么它们是对顶角. 2、一个三角形中等边对等角.一个三角形中等角对等边. 由此我们可以发现::1、一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题。

2、每个命题都有逆命题,但不一定每个定理都有逆定理

能举例说出我们已学过的互逆定理? 如我们刚证过的勾股定理及其逆定理,“两直线平行,内错角相等”与“内错角相等,两直线平行”.“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等.